Contoh Soal Pembahasan Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret yang mencakup jumlah tak terbatas dari suku-suku dalam suatu proggresi geometri. Deret ini memiliki syarat khusus agar jumlahnya (atau limitnya) dapat dihitung. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar deret geometri tak hingga, syarat pembuatannya, serta beberapa contoh soal beserta pembahasannya.
Konsep Dasar Deret Geometri Tak Hingga
Pada dasarnya, deret geometri adalah deret angka di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta yang disebut rasio (r). Misalkan kita memiliki barisan geometri:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Untuk deret geometri tak hingga (infinite geometric series), kita mempertimbangkan jumlah semua suku dalam barisan tersebut. Jumlah deret ini didefinisikan sebagai:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen (memiliki nilai tertentu) jika dan hanya jika nilai dari rasio \( |r| < 1 \). Jika \( |r| \geq 1 \), maka deret tersebut divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu (mengarah ke tak terhingga).
Bila \( |r| < 1 \), jumlah S dari deret geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai: \[ S = \frac{a}{1-r} \] di mana: - \( S \) adalah jumlah deret, - \( a \) adalah suku pertama, - \( r \) adalah rasio. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Soal: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga untuk deret berikut: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Pembahasan: Mari kita identifikasi elemen-elemen penting dari deret tersebut: Suku pertama \( a = 3 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 2 Soal: Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio \( r = -\frac{1}{3} \). Pembahasan: Suku pertama \( a = 8 \) Rasio \( r = -\frac{1}{3} \) Karena \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 3 Soal: Apakah deret berikut memiliki jumlah tak hingga? Jika iya, temukan jumlahnya. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 5 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10. Contoh Soal 4 Soal: Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 4 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Karena \( |r| = 1.5 > 1 \), deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu.Jadi, deret tersebut divergen.
Contoh Soal 5
Soal: Misalkan kamu memiliki deret tak hingga berikut:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Tentukan jumlah deret tersebut.
Pembahasan:
Suku pertama \( a = \frac{1}{2} \)
Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Karena \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 1. Kesimpulan Deret geometri tak hingga adalah konsep matematika penting yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang. Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga, kita harus memastikan bahwa rasio \( |r| < 1 \). Dengan demikian, jumlah deret dapat dihitung menggunakan rumus yang sederhana dan langsung. Dari contoh-contoh soal di atas, kita dapat melihat bahawa teknik ini sangat memudahkan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan deret geometri tak hingga.
