Contoh Soal Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Pendahuluan
Persamaan garis singgung lingkaran adalah salah satu topik penting dalam geometri analitis. Memahami cara menentukan persamaan garis singgung yang bersinggungan dengan lingkaran dapat membantu memecahkan berbagai jenis masalah matematika dalam level menengah hingga lanjutan. Artikel ini akan membahas berbagai contoh soal pembahasan serta metode untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.
Definisi dan Teori Dasar
Sebuah lingkaran di dalam bidang koordinat biasanya dapat diwakilkan oleh persamaan kuadrat:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
dimana \((a, b)\) adalah titik pusat lingkaran dan \(r\) adalah jari-jari lingkaran.
Garis singgung pada lingkaran dari titik luar adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Jika kita misalkan garis tersebut memiliki persamaan:
\[ y = mx + c \]
maka kondisi bahwa garis \(y = mx + c\) akan bersinggungan dengan lingkaran dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Dimana \(m\) adalah gradien garis singgung dan \(c\) adalah konstanta.
Rumus Persamaan Garis Singgung
Untuk garis singgung pada lingkaran dengan pusat \((0,0)\) dan jari-jari \(r\), persamaannya di titik \((x_1, y_1)\) pada lingkaran adalah:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Tapi jika pusat lingkaran berada di titik \((a, b)\), maka persamaannya adalah:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Contoh Soal dan Pembahasannya
Soal 1
Lingkaran dengan pusat di \((3, 4)\) dan jari-jari 5 satuan. Tentukan persamaan garis singgung dari titik \((6, 8)\).
Pembahasan:
Dalam soal ini, kita diberi pusat lingkaran \((3, 4)\), jari-jari 5, dan harus menemukan persamaan garis singgung dari titik \((6, 8)\). Berikut langkah penyelesaiannya:
1. Verifikasi bahwa titik \((6, 8)\) bukan di dalam lingkaran: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Jadi titik tersebut berada pada lingkaran sehingga bisa digunakan untuk mencari garis singgung.
2. Menggunakan rumus:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Menyederhanakan persamaan:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Mengembangkan:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Persamaan garis singgung yang diperoleh:
\[
3x + 4y = 50
\]
Soal 2
Lingkaran dengan persamaan \[x^2 + y^2 = 16\]. Tentukan persamaan garis singgung dari titik \((4, 0)\).
Pembahasan:
Lingkaran dengan pusat di \((0, 0)\) dan jari-jari 4 satuan. Titik luar yang diberikan adalah \((4, 0)\).
1. Menggunakan rumus untuk lingkaran dengan pusat \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Substitusi nilai:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Menyederhanakan:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Yang berarti, persamaan singgung yang kita punya adalah:
\[
x = 4
\]
Soal 3
Bentuk garis yang bersinggungan dengan lingkaran \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) di titik \((-1, 5)\).
Pembahasan:
Lingkaran dengan pusat di \((-2, 3)\) dan jari-jari 3 satuan. Titik singgung adalah \((-1, 5)\).
1. Verifikasi bahwa titik terletak pada lingkaran:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{not on circle}
\]
Dengan demikian, kemungkinan ada kesalahan dalam input soal atau titik. Jika seandainya diberikan \((-2, 6)\) sebagai titik singgung:
2. Sederhanakan:
\[
(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2
\]
Substitusi:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Hasilkan:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Ternyata titik & pers.:
y = 6 pasti valid.
Kesimpulan periksa kombinasi, hapal,2 cara hitung.
valid/palsu..Itu Plus ringkasan gar. td 2; shape validate with (grid). plis perimeter all coverage btns.
Sekian terima kasih dan semoga bermanfaat sobat belajar.
Sebagai tambahan, pelajari konsep memperkuat pemahaman.
Yg tadinya ngga paham insyallah>lebih langkah bedah detil kritis.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{prevents}-fu.
“
