Contoh Soal Pembahasan Penjumlahan Vektor secara Komponen
Penjumlahan vektor adalah prosedur fundamental dalam ilmu fisika dan matematika yang digunakan untuk menemukan resultan dari dua atau lebih vektor. Pendekatan komponen dalam menyelesaikan penjumlahan vektor adalah salah satu metode yang sangat berguna, terutama ketika berhadapan dengan vektor dalam dua atau tiga dimensi. Artikel ini akan menjelaskan konsep penjumlahan vektor secara komponen dan memberi beberapa contoh soal serta pembahasannya.
Konsep Penjumlahan Vektor secara Komponen
Setiap vektor di ruang dua dimensi (2D) dapat dipecah menjadi dua komponen: komponen x (horizontal) dan komponen y (vertikal). Dalam tiga dimensi (3D), vektor memiliki komponen tambahan yaitu komponen z (kedalaman).
Misalkan kita memiliki dua vektor A dan B . Komponen-komponen vektor ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
– Vektor A memiliki komponen \(A_x\) dan \(A_y\) dalam 2D (atau juga \(A_z\) dalam 3D).
– Vektor B memiliki komponen \(B_x\) dan \(B_y\) dalam 2D (atau juga \(B_z\) dalam 3D).
Penjumlahan kedua vektor tersebut akan menghasilkan vektor resultan R yang memiliki komponen:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Untuk vektor di 3D, komponen z juga berikut:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Setelah menghitung masing-masing komponen dari vektor resultan, kita bisa mencari modulus (magnitude) dan arah dari vektor resultan tersebut menggunakan rumus:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (untuk 2D)
Atau untuk 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Dan arah dari vektor resultan dapat ditentukan dengan sudut terhadap sumbu-sumbu koordinat.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Diberikan dua vektor di pesawat dua dimensi:
– A adalah \(5 \, \text{unit}\) ke arah timur.
– B adalah \(3 \, \text{unit}\) ke arah utara.
Tentukan vektor resultan R .
Pembahasan
Pertama, kita konversi vektor ke dalam komponen masing-masing.
– Vektor A : \(A = (5, 0)\) karena hanya memiliki komponen x.
– Vektor B : \(B = (0, 3)\) karena hanya memiliki komponen y.
Berikut penjumlahan komponennya:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Maka vektor resultan R adalah:
\[ R = (5, 3) \]
Untuk menghitung panjang (modulus) dari vektor R :
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
Arah dari vektor R dapat dihitung dengan menggunakan sudut θ terhadap sumbu x:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Jadi, vektor resultan R memiliki panjang sekitar 5.83 unit dan membentuk sudut 30.96° terhadap sumbu x.
Soal 2
Diberikan dua vektor di tiga dimensi:
– A adalah \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B adalah \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Tentukan vektor resultan R .
Pembahasan
Pertama, kita identifikasi komponen masing-masing vektor:
– Vektor A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vektor B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Berikut penjumlahan komponennya:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Maka vektor resultan R adalah:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Untuk menghitung panjang (modulus) dari vektor R :
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
Arah dari vektor R relatif terhadap sumbu x, y, dan z bisa dihitung dengan menggunakan kosinus direktor:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \approx 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \approx 67.64^\circ \]
Sehingga, vektor resultan R memiliki panjang sekitar 7.81 unit dan arah relatif terhadap sumbu x, y, dan z adalah 59.50°, 39.50°, dan 67.64°.
Soal 3
Diberikan dua vektor:
– P memiliki besar 4 unit dan membentuk sudut 45° terhadap sumbu x positif.
– Q memiliki besar 6 unit dan membentuk sudut 120° terhadap sumbu x positif.
Tentukan vektor resultan R .
Pembahasan
Pertama, kita pecahkan vektor ke dalam komponen x dan y:
– Vektor P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Vektor Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Berikut penjumlahan komponennya:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Maka, vektor resultan R adalah:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Untuk menghitung panjang (modulus) dari vektor R :
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \approx 8.03 \]
Arah dari vektor R :
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
Namun, sudut ini diukur terhadap sumbu x negatif, sehingga sudut sebenarnya dalam konteks masalah adalah:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \approx 91.01^\circ \]
Jadi, vektor resultan R memiliki panjang sekitar 8.03 unit dan membentuk sudut 91.01° terhadap sumbu x positif.
Artikel ini telah membahas tentang penjumlahan vektor secara komponen dengan memberikan beberapa contoh soal dan penyelesaiannya. Metode komponen sangat berguna dalam menyederhanakan perhitungan dan memberikan cara yang sistematis untuk menyelesaikan masalah vektor dalam dimensi matematika ruang.
