Contoh Soal Pembahasan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear merupakan topik penting dalam matematika yang banyak diaplikasikan di berbagai bidang, seperti ekonomi, sains, dan teknik. Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal mengenai sistem persamaan dan pertidaksamaan linear serta bagaimana cara menyelesaikannya secara detail.
Definisi Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear terdiri dari dua atau lebih persamaan linear yang saling berkaitan. Contohnya adalah:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{cases}
\]
Tujuan dari menyelesaikan sistem ini adalah menemukan nilai-nilai \(x\) dan \(y\) yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara simultan.
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, di antaranya:
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Matriks (Invers atau Gauss-Jordan)
Contoh Soal 1: Metode Substitusi
Mari kita selesaikan sistem berikut menggunakan metode substitusi:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{cases}
\]
Langkah-langkah:
1. Isolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan.
Dari persamaan pertama, kita isolasi \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Substitusi ekspresi yang ditemukan ke dalam persamaan lainnya.
Substitusi \(x = 10 – 2y\) ke dalam persamaan kedua:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Selesaikan untuk \(y\):
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Gunakan nilai yang ditemukan untuk mencari variabel lain.
Substitusi \(y = \frac{25}{7}\) kembali ke dalam ekspresi \(x\):
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Jadi, solusi sistem tersebut adalah \( x = \frac{20}{7} \) dan \( y = \frac{25}{7} \).
Contoh Soal 2: Metode Eliminasi
Selanjutnya, mari kita gunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan sistem berikut:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{cases}
\]
Dalam kasus ini, kita melihat bahwa persamaan kedua adalah kelipatan dari persamaan pertama. Untuk mengurangi sistem, kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan kemudian mengurangkannya dari persamaan kedua:
1. Kalikan persamaan pertama dengan 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Kurangi persamaan pertama yang telah dikalikan dari persamaan kedua:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Ini memberikan \(0 = 0\), yang menunjukkan sistem memiliki solusi tak berhingga dan persamaan ini adalah dependen.
Contoh Soal 3: Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear mengikuti prinsip yang serupa dengan persamaan linear, tetapi melibatkan tanda pertidaksamaan seperti \(<, \leq, >, \geq\). Mari kita lihat contoh sederhana:
\[
\begin{cases}
3x – y < 7 \\
2x + y \geq 4
\end{cases}
\]
Langkah-langkah:
1. Kita gunakan metode grafis untuk menentukan wilayah solusi sistem ini. Gambar setiap pertidaksamaan pada grafik.
2. Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan untuk menentukan garis batas:
Untuk \(3x - y < 7\), garis batasnya \(3x - y = 7\)
