Contoh Soal Pembahasan Kombinasi Transformasi Fungsi
Transformasi fungsi merupakan salah satu topik penting dalam matematika, terutama dalam studi fungsi dan grafiknya. Penerapan transformasi fungsi melibatkan berbagai jenis operasi seperti translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi. Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi apa itu kombinasi transformasi fungsi dan bagaimana cara mengatasinya melalui beberapa contoh soal yang sudah dibahas satu persatu.
Apa itu Kombinasi Transformasi Fungsi?
Transformasi fungsi melibatkan perubahan posisi geometri atau bentuk grafik fungsi asal. Kombinasi transformasi fungsi berarti menggabungkan dua atau lebih transformasi terhadap satu fungsi.
Beberapa jenis transformasi fungsi yang umum adalah:
– Translasi (Pergeseran) :
– Horizontal: \( f(x) \to f(x – h) \) shift ke kanan sejauh \( h \)
– Vertikal: \( f(x) \to f(x) + k \) shift ke atas sejauh \( k \)
– Refleksi :
– Horizontal (terhadap sumbu y): \( f(x) \to f(-x) \)
– Vertikal (terhadap sumbu x): \( f(x) \to -f(x) \)
– Dilatasi (Penskalaan) :
– Horizontal: \( f(x) \to f(ax) \) dengan \( a \) sebagai faktor skala horizontal
– Vertikal: \( f(x) \to kf(x) \) dengan \( k \) sebagai faktor skala vertikal
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1:
Diberikan fungsi asal \( f(x) = x^2 \). Tentukan bentuk fungsi baru setelah diberikan kombinasi transformasi berikut:
1. Translasi horizontal ke kanan sejauh 3 satuan.
2. Dilatasi vertikal dengan faktor skala 2.
Pembahasan:
1. Translasi Horizontal:
Fungsi \( f(x) = x^2 \) jika digeser ke kanan sejauh 3 satuan menjadi \( f(x – 3) = (x – 3)^2 \).
Sehingga fungsi baru setelah translasi horizontal adalah \( f_1(x) = (x – 3)^2 \).
2. Dilatasi Vertikal:
Setelah dilatasi vertikal dengan faktor 2, bentuknya menjadi \( 2 \times f_1(x) = 2(x-3)^2 \).
Hasil akhir fungsi setelah kombinasi transformasi adalah:
\[ g(x) = 2(x – 3)^2 \]
Soal 2:
Diberikan fungsi \( f(x) = \sqrt{x} \). Tentukan bentuk fungsi baru setelah diberikan kombinasi transformasi berikut:
1. Refleksi terhadap sumbu y.
2. Translasi vertikal ke bawah sejauh 2 satuan.
Pembahasan:
1. Refleksi terhadap sumbu y:
Fungsi \( f(x) = \sqrt{x} \) direfleksikan terhadap sumbu y, maka menjadi \( f(-x) = \sqrt{-x} \).
2. Translasi Vertikal:
Fungsi hasil refleksi kemudian digeser ke bawah sejauh 2 satuan menjadi \( \sqrt{-x} – 2 \).
Jadi, bentuk akhir fungsi setelah transformasi adalah:
\[ g(x) = \sqrt{-x} – 2 \]
Soal 3:
Diberikan fungsi \( f(x) = \frac{1}{x} \). Tentukan bentuk fungsi baru setelah diberikan kombinasi transformasi berikut:
1. Translasi horizontal ke kiri sejauh 4 satuan.
2. Dilatasi horizontal dengan faktor skala \(\frac{1}{2}\).
Pembahasan:
1. Translasi Horizontal:
Fungsi \( f(x) = \frac{1}{x} \) setelah digeser ke kiri sejauh 4 satuan menjadi \( f(x + 4) = \frac{1}{x + 4} \).
2. Dilatasi Horizontal:
Fungsi hasil translasi kemudian didilatasi horizontal dengan faktor \(\frac{1}{2}\) menjadi \( f\left( \frac{x}{\frac{1}{2}} + 4 \right) = f(2x + 4) = \frac{1}{2x + 4} \).
Sehingga bentuk akhir fungsi setelah transformasi adalah:
\[ g(x) = \frac{1}{2x + 4} \]
Soal 4:
Diberikan fungsi \( f(x) = \sin x \). Tentukan bentuk fungsi baru setelah diberikan kombinasi transformasi berikut:
1. Dilatasi vertikal dengan faktor skala 3.
2. Refleksi terhadap sumbu x.
Pembahasan:
1. Dilatasi Vertikal:
Fungsi asal \( f(x) = \sin x \) setelah didilatasi vertikal dengan faktor skala 3 menjadi \( 3 \sin x \).
2. Refleksi terhadap sumbu x:
Fungsi hasil dilatasi kemudian direfleksikan terhadap sumbu x, sehingga menjadi \( -3 \sin x \).
Hasil akhir fungsi setelah kombinasi transformasi adalah:
\[ g(x) = -3 \sin x \]
Penerapan dalam Grafik
Memahami kombinasi transformasi fungsi juga sangat penting dalam mempelajari grafik dari fungsi tersebut. Berikut beberapa poin penting yang perlu diingat:
1. Urutan Transformasi:
Urutan dalam melakukan transformasi sering kali berpengaruh terhadap hasil akhir. Misalnya, jika kita melakukan dilatasi terlebih dahulu sebelum translasi, hasil akhirnya akan berbeda dibandingkan jika urutan transformasinya dibalik.
2. Penggambaran Grafik:
Setiap transformasi mempengaruhi bentuk grafik dengan cara yang spesifik:
– Translasi menggeser grafik tanpa mengubah bentuknya.
– Dilatasi mengubah “lebar” atau “kehilangan” grafik.
– Refleksi mencerminkan grafik di sekitar suatu garis.
3. Latihan Kontinu:
Menggambar fungsinya berdasarkan transformasi adalah cara yang efektif untuk memahami konsep ini. Anda dapat mencoba menggambar fungsi-fungsi yang diberikan pada soal pembahasan di atas untuk melihat perubahan grafiknya.
Kesimpulan
Transformasi fungsi adalah konsep dasar dalam matematika yang diaplikasikan dalam berbagai bidang, baik akademis maupun praktis. Mempelajari kombinasi transformasi fungsi memerlukan pemahaman tentang dasar-dasar dari masing-masing jenis transformasi. Melalui latihan dan contoh-contoh soal yang dibahas, kita bisa menguasai cara menggambar dan menggambarkan grafik fungsi dengan lebih baik. Terus berlatih akan membuat Anda lebih mahir dalam memahami bagaimana fungsi berubah dengan berbagai transformasi.
