Contoh soal pembahasan Karakteristik Fungsi Kuadrat

Contoh Soal Pembahasan Karakteristik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah salah satu topik penting dalam matematika yang sering dijumpai dalam kurikulum sekolah menengah. Fungsi kuadrat berbentuk umum \( f(x) = ax^2 + bx + c \), di mana \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah konstanta dengan \( a \neq 0 \). Pembahasan karakteristik fungsi kuadrat meliputi berbagai aspek seperti sumbu simetri, titik puncak, nilai maksimum atau minimum, serta arah parabola. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal beserta pembahasannya untuk lebih memahami karakteristik fungsi kuadrat.

1. Soal: Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Puncak

Contoh Soal:
Diberikan fungsi kuadrat \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari fungsi tersebut.

Pembahasan:
Untuk menentukan sumbu simetri dari fungsi kuadrat \( ax^2 + bx + c \), kita menggunakan rumus:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Dalam fungsi yang diberikan \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \), nilai \( a = 2 \) dan \( b = -4 \). Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{4}{4} \]
\[ x = 1 \]

Jadi, sumbu simetri dari fungsi tersebut adalah \( x = 1 \).

Untuk menemukan titik puncak (vertex), kita substitusikan nilai sumbu simetri ke dalam fungsi:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
\[ f(1) = -1 \]

Maka, titik puncak dari fungsi tersebut adalah \( (1, -1) \).

2. Soal: Menentukan Arah Parabola

Contoh Soal:
Tentukan arah parabola dari fungsi kuadrat \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).

Pembahasan:
Arah parabola dari fungsi kuadrat ditentukan oleh nilai koefisien \( a \).

– Jika \( a > 0 \), parabola terbuka ke atas.
– Jika \( a < 0 \), parabola terbuka ke bawah. Pada fungsi yang diberikan \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \), nilai \( a = -3 \). Karena \( a < 0 \), parabola terbuka ke bawah. 3. Soal: Menemukan Akar-akar Fungsi Kuadrat Contoh Soal: Temukan akar-akar dari fungsi kuadrat \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \). Pembahasan: Akar-akar fungsi kuadrat dapat ditemukan dengan memfaktorkan atau menggunakan rumus kuadrat. Kita akan memfaktorkannya: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Temukan dua angka yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Angka-angka tersebut adalah -2 dan -3. \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] Dengan demikian, akar-akarnya adalah: \[ x - 2 = 0 \quad \text{atau} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{atau} \quad x = 3 \] 4. Soal: Nilai Maksimum atau Minimum Contoh Soal: Tentukan nilai minimum dari fungsi kuadrat \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).

Pembahasan: Untuk menentukan nilai minimum dari fungsi kuadrat \( ax^2 + bx + c \), kita perlu memeriksa apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Jika \( a > 0 \), parabola terbuka ke atas dan memiliki nilai minimum; jika \( a < 0 \), parabola terbuka ke bawah dan memiliki nilai maksimum. Dalam fungsi yang diberikan \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \), nilai \( a = 2 \), sehingga parabola terbuka ke atas dan memiliki nilai minimum. Nilai minimum terjadi pada titik puncak. Kita sudah tahu sumbu simetri \( x = -\frac{b}{2a} \). Untuk fungsi ini: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] Substitusikan \( x = 1 \) ke dalam fungsi untuk menemukan nilai minimum: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] Maka, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 3. 5. Soal: Grafik Fungsi Kuadrat Contoh Soal: Buat grafik dari fungsi kuadrat \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). Pembahasan: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, kita perlu menemukan beberapa karakteristik penting seperti sumbu simetri, titik puncak, dan akar-akar fungsi, serta arah parabola. 1. Sumbu Simetri : \[ x = -\frac{b}{2a} \] Dalam fungsi \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \), nilai \( a = -1 \) dan \( b = 4 \). \[ x = -\frac{4}{2(-1)} \] \[ x = -\frac{4}{-2} \] \[ x = 2 \] 2. Titik Puncak : Substitusikan \( x = 2 \) ke dalam fungsi untuk menemukan titik puncak: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] Titik puncaknya adalah \( (2, 1) \). 3. Arah Parabola : Karena \( a = -1 \), parabola terbuka ke bawah. 4. Akar-akar Fungsi Kuadrat : \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] Kita bisa menggunakan rumus kuadrat: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Untuk \( a = -1 \), \( b = 4 \), dan \( c = -3 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \] Dua solusi: \[ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \] Akar-akarnya adalah \( x = 1 \) dan \( x = 3 \). Dengan semua informasi ini, kita bisa menggambar grafik fungsi kuadrat. Parabola ini memiliki titik puncak di \( (2, 1) \), terbuka ke bawah, dengan akar-akarnya di \( x = 1 \) dan \( x = 3 \). Kesimpulan Melalui contoh-contoh soal yang sudah dibahas, kita dapat lebih memahami berbagai karakteristik fungsi kuadrat. Pengetahuan tentang cara menentukan sumbu simetri, titik puncak, nilai maksimum atau minimum, arah parabola, serta akar-akar fungsi kuadrat sangat penting untuk menggambarkan bentuk dan sifat-sifat parabola. Memahami konsep-konsep ini dengan baik akan memberikan landasan yang kuat bagi siswa dalam mengeksplorasi topik-topik lebih lanjut dalam matematika.