Contoh Soal Pembahasan Irisan Kerucut Elips
Pendahuluan
Matematika menjadi salah satu ilmu dasar yang memiliki peran penting dalam berbagai aspek kehidupan manusia. Salah satu topik yang cukup menantang di dalam matematika adalah geometri, khususnya irisan kerucut atau konik. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas salah satu bentuk irisan kerucut, yaitu elips. Artikel ini akan memberikan contoh soal beserta pembahasan lengkap mengenai elips yang diharapkan dapat membantu para pelajar dalam memahami materi ini lebih dalam.
Definisi dan Sifat Elips
Sebelum memasuki contoh soal, ada baiknya jika kita memahami terlebih dahulu apa itu elips. Elips adalah kumpulan semua titik di dalam sebuah bidang yang jumlah jaraknya dari dua titik tetap (fokusnya) adalah konstan. Dua titik tetap ini disebut fokus elips (F1 dan F2).
Dalam bentuk aljabar, elips dapat digambarkan dengan persamaan umumnya:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
dimana \( a \) adalah jarak dari pusat elips ke titik terjauh pada sumbu utama, dan \( b \) adalah jarak dari pusat elips ke titik terjauh pada sumbu bantu.
Contoh Soal dan Pembahasan Elips
Soal 1:
Diketahui persamaan elips \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Tentukan panjang sumbu utama, panjang sumbu bantu, dan koordinat fokus-fokusnya.
Pembahasan:
Persamaan elips yang diberikan adalah \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).
1. Menentukan panjang sumbu utama dan sumbu bantu :
\[ a^2 = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5 \]
\[ b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \]
Jadi, panjang sumbu utama \(= 2a = 2(5) = 10\).
Panjang sumbu bantu \(= 2b = 2(3) = 6\).
2. Menentukan koordinat fokus :
Fokus elips terletak pada sumbu utama dengan jarak dari pusat sebesar \(\sqrt{a^2 – b^2}\).
\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \]
Karena sumbu utama elips ini adalah sumbu x, maka koordinat fokus adalah:
\( (c, 0) \) dan \( (-c, 0) \) atau \( (4, 0) \) dan \( (-4, 0) \).
Soal 2:
Diberikan sebuah elips dengan pusat di \( (0, 0) \) dan sumbu utama pada sumbu x, memiliki panjang sumbu utama 12 dan panjang sumbu bantu 8. Tentukan persamaan elips tersebut.
Pembahasan:
1. Diketahui panjang sumbu utama \( 2a = 12 \), maka:
\[ a = \frac{12}{2} = 6 \]
2. Diketahui panjang sumbu bantu \( 2b = 8 \), maka:
\[ b = \frac{8}{2} = 4 \]
Persamaan elips dengan pusat di \( (0, 0) \) dan sumbu utama pada sumbu x adalah:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Gantilah \( a \) dan \( b \) ke dalam persamaan:
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]
Maka, persamaan elipsnya adalah:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]
Soal 3:
Tentukan eksentrisitas elips \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\).
Pembahasan:
Eksentrisitas (\( e \)) sebuah elips diberikan oleh persamaan:
\[ e = \frac{c}{a} \]
di mana \( c = \sqrt{a^2 – b^2} \).
Dari persamaan elips tersebut, kita dapatkan:
\[ a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \]
\[ b^2 = 36 \Rightarrow b = 6 \]
Sekarang, kita mencari \( c \):
\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 36} = \sqrt{13} \]
Eksentrisitas (\( e \)):
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Maka, eksentrisitas elips tersebut adalah:
\[ e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Soal 4:
Jika dua titik fokus dari elips terletak pada \( (-5, 0) \) dan \( (5, 0) \), serta panjang sumbu utama elips adalah 12, tentukan persamaan elips tersebut.
Pembahasan:
1. Menentukan \( a \) :
Panmaßn g sumbu utama adalah 12, maka \( 2a = 12 \).
Sehingga \( a = \frac{12}{2} = 6 \).
2. Menentukan \( c \) :
Dua titik fokusnya adalah \( (-5, 0) \) dan \( (5, 0) \), maka:
\[ c = 5 \]
3. Menentukan \( b \) :
Gunakan hubungan \( c = \sqrt{a^2 – b^2} \):
\[ 5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[ 25 = 36 – b^2 \]
\[ b^2 = 36 – 25 \]
\[ b^2 = 11 \]
4. Mereturn persamaan elips :
Persamaan elips adalah:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Menggantikan \( a \) dan \( b \):
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Jadi, persamaan elips tersebut adalah:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Penutup
Melalui pembahasan beberapa soal di atas, kita dapat melihat bahwa memahami elips tidak hanya mempelajari bentuk persamaan dan grafiknya saja, tetapi juga bagaimana sifat-sifat dan elemen elips tersebut saling berkaitan. Penguasaan materi ini tentu akan sangat berguna dalam berbagai bidang aplikasi, seperti fisika, astronomi, dan bidang teknik lainnya. Diharapkan melalui contoh soal dan pembahasan ini, anda bisa lebih memahami konsep dasar dan penerapan dari irisan kerucut elips.
Demikian artikel ini dibuat dengan harapan dapat memberikan pemahaman yang lebih mendalam mengenai elips. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk mengeksplorasi lebih banyak soal-soal terkait untuk meningkatkan kemampuan dan pengetahuan anda!
