Contoh Soal Pembahasan Dilatasi Matematika
Dilatasi atau transformasi memperbesar dan memperkecil adalah salah satu konsep penting dalam geometri transformasi. Konsep ini sering muncul dalam berbagai konteks, seperti dalam studi tentang pola, simetri, dan banyak aplikasi lainnya dalam kehidupan nyata. Artikel ini akan membahas konsep dilatasi dalam matematika serta memberikan beberapa contoh soal beserta pembahasannya.
Apa Itu Dilatasi?
Dilatasi adalah transformasi geometri yang melibatkan pembesaran atau pengecilan suatu bangun dengan suatu faktor skala tertentu. Dalam dilatasi, sebuah titik pada bangun geometri akan bergeser menjauh atau mendekat dari titik pusat dilatasi dengan faktor pengali yang sama. Dilatasi bisa memperbesar (faktor skala > 1), memperkecil (0 < faktor skala < 1), atau bahkan memantulkan bangun jika faktor skalanya negatif. Notasi dalam Dilatasi Saat melakukan dilatasi, beberapa notasi yang sering digunakan meliputi: - Pusat Dilatasi (P): Titik tetap yang dijadikan acuan dalam proses dilatasi. - Faktor Skala (k): Rasio panjang yang menentukan seberapa besar pembesaran atau pengecilan yang terjadi. Jika \( k > 1 \), objek akan diperbesar. Jika \( 0 < k < 1 \), objek akan diperkecil.
Misalkan titik A dengan koordinat (x, y) didilatasi ke titik A' dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O (0,0), maka koordinat A' adalah (kx, ky). Rumus Dilatasi Untuk menemukan koordinat baru hasil dilatasi suatu titik, rumus yang digunakan adalah: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] dimana (x, y) adalah koordinat awal titik dan k adalah faktor skala. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Titik A (2, 3) didilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat dilatasi di O (0, 0). Tentukan koordinat titik A setelah dilatasi. Pembahasan: Koordinat titik A adalah (2, 3), faktor skala k = 2, dan pusat dilatasi adalah titik O (0, 0). Menurut rumus dilatasi: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Jadi, koordinat titik A setelah dilatasi adalah (4, 6). Contoh Soal 2 Titik B (-1, 4) didilatasi dengan faktor skala 0,5 dan pusat dilatasi di O (0, 0). Tentukan koordinat titik B setelah dilatasi. Pembahasan: Koordinat titik B adalah (-1, 4), faktor skala k = 0,5, dan pusat dilatasi adalah titik O (0, 0). Menurut rumus dilatasi: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Jadi, koordinat titik B setelah dilatasi adalah (-0,5, 2). Contoh Soal 3 Titik C (3, -2) didilatasi dengan faktor skala -1 dan pusat dilatasi di O (0, 0). Tentukan koordinat titik C setelah dilatasi. Pembahasan: Koordinat titik C adalah (3, -2), faktor skala k = -1, dan pusat dilatasi adalah titik O (0, 0). Menurut rumus dilatasi: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Jadi, koordinat titik C setelah dilatasi adalah (-3, 2). Contoh Soal 4 Titik D (2, 5) didilatasi dengan faktor skala 3 dan pusat dilatasi di P (1, 1). Tentukan koordinat titik D setelah dilatasi. Pembahasan: Koordinat titik D adalah (2, 5), faktor skala k = 3, dan pusat dilatasi adalah titik P (1, 1). Pertama, kita menggeser titik D ke sistem koordinat pusat dilatasi P (1, 1): Koordinat relatif dari D ke P adalah: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] Lakukan dilatasi dengan faktor skala k pada titik D_r: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Terakhir, kita kembalikan titik D_r' ke sistem koordinat awal: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Jadi, koordinat titik D setelah dilatasi adalah (4, 13). Contoh Soal 5 Titik E (-2, -3) didilatasi dengan faktor skala 0,25 dan pusat dilatasi di P (-1, -1). Tentukan koordinat titik E setelah dilatasi. Pembahasan: Koordinat titik E adalah (-2, -3), faktor skala k = 0,25, dan pusat dilatasi adalah titik P (-1, -1). Pertama, kita menggeser titik E ke sistem koordinat pusat dilatasi P (-1, -1): Koordinat relatif dari E ke P adalah: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] Lakukan dilatasi dengan faktor skala k pada titik E_r: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Terakhir, kita kembalikan titik E_r' ke sistem koordinat awal: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Jadi, koordinat titik E setelah dilatasi adalah (-1,25, -1,5). Kesimpulan Dilatasi adalah suatu transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun geometri dengan faktor skala tertentu. Memahami konsep dan penerapan dilatasi sangat berguna dalam berbagai bidang studi, terutama di dalam geometri. Dengan contoh soal dan pembahasannya, diharapkan dapat membantu para siswa dan pembaca untuk lebih memahami dan mengaplikasikan konsep dilatasi dalam berbagai situasi matematis.