Contoh Soal Pembahasan Geometri Analitik
Pendahuluan
Geometri analitik adalah cabang matematika yang menggabungkan aljabar dengan geometri untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan ruang dan bentuk. Ini adalah alat yang sangat kuat yang memungkinkan kita menganalisis masalah geometri menggunakan persamaan dan koordinat. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal area geometri analitik dan pembahasannya secara detail untuk membantu pemahaman lebih mendalam.
Contoh Soal 1: Persamaan Garis
Soal:
Diketahui dua titik A(1, 2) dan B(3, 7). Tentukan persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut.
Pembahasan:
Untuk menemukan persamaan garis yang melalui dua titik, kita dapat menggunakan rumus gradien (kemiringan) m:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Dengan titik A(x1, y1) = (1, 2) dan titik B(x2, y2) = (3, 7):
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Selanjutnya, kita gunakan formula persamaan garis:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Substitusi satu titik, misalnya titik A(1, 2):
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Ubah bentuk ini menjadi persamaan eksplisit y:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Jadi, persamaan garisnya adalah:
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Contoh Soal 2: Lingkaran
Soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik C(-2, 3) dan memiliki jari-jari 4.
Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran dengan pusat di (h, k) dan jari-jari r adalah:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Dari soal, pusat lingkaran (h, k) = (-2, 3) dan jari-jari r = 4. Maka,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Contoh Soal 3: Parabola
Soal:
Tentukan persamaan parabola yang vertikal dengan puncak di (1, -2) dan fokus di (1, 0).
Pembahasan:
Untuk parabola vertikal dengan puncak (h, k), persamaan umumnya adalah:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
Diketahui puncak (h, k) = (1, -2), sehingga kita butuh mencari nilai p. Fokus parabola adalah (h, k + p), dan dari soal fokusnya adalah (1, 0):
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Sehingga:
\[ p = 2 \]
Jadi, persamaan umumnya menjadi:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Jadi, persamaan parabolanya adalah:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Contoh Soal 4: Elips
Soal:
Diberikan elips dengan pusat di titik (0, 0), panjang sumbu mayor 10 dan sumbu minor 6. Tentukan persamaan elips tersebut.
Pembahasan:
Pusat elips (h, k) adalah (0, 0), panjang sumbu mayor 2a = 10 sehingga a = 5, dan panjang sumbu minor 2b = 6 sehingga b = 3. Persamaan umum elips dengan pusat di (0, 0) adalah:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Substitusi nilai a dan b:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Jadi, persamaan elips tersebut adalah:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Contoh Soal 5: Hiperbola
Soal:
Diberikan hiperbola dengan pusat di (1, -3), panjang sumbu transversal adalah 8 dan panjang sumbu konjugat adalah 6. Tentukan persamaan hiperbola tersebut.
Pembahasan:
Untuk hiperbola dengan pusat (h, k) dan sumbu transversal horizontal, persamaan umumnya adalah:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
Pusat hiperbola (h, k) adalah (1, -3), panjang sumbu transversal 2a = 8 sehingga a = 4, dan panjang sumbu konjugat 2b = 6 sehingga b = 3. Maka, persamaan hiperbola tersebut adalah:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Jadi, persamaan hiperbola tersebut adalah:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Kesimpulan
Geometri analitik adalah metode yang kuat untuk menganalisis bentuk dan struktur geometris dengan menggunakan persamaan aljabar. Dengan memahami konsep dasar dari persamaan garis, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola, kita dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai masalah geometri. Artikel ini memberikan contoh dan pembahasan soal-soal penting dalam geometri analitik untuk membantu memperdalam pemahaman Anda. Latihan soal lainnya dapat membantu memperkuat dan memperluas pemahaman terhadap materi ini.
