Contoh Soal Pembahasan Barisan dan Deret
Barisan dan deret adalah konsep dasar dalam matematika yang sering dijumpai sejak bangku sekolah dasar hingga perguruan tinggi. Barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku barisan tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai barisan dan deret.
Contoh 1: Barisan Aritmetika
Soal:
Diketahui sebuah barisan aritmetika dengan suku pertama (a) = 3 dan beda (d) = 5. Tentukan:
1. Suku ke-10 dari barisan tersebut.
2. Jumlah 20 suku pertama dari barisan tersebut.
Pembahasan:
1. Suku ke-10
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Untuk suku ke-10 (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Jumlah 20 Suku Pertama
Rumus jumlah n suku pertama (S_n) dari barisan aritmetika adalah:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Untuk jumlah 20 suku pertama (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Contoh 2: Barisan Geometri
Soal:
Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (a) = 4 dan rasio (r) = 2. Tentukan:
1. Suku ke-6 dari barisan tersebut.
2. Jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut.
Pembahasan:
1. Suku ke-6
Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Untuk suku ke-6 (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Jumlah 8 Suku Pertama
Rumus jumlah n suku pertama (S_n) dari barisan geometri adalah:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Untuk jumlah 8 suku pertama (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Contoh 3: Deret Tak Hingga Geometri Konvergen
Soal:
Diketahui sebuah deret geometri dengan suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 1/2. Tentukan jumlah deret tak hingga tersebut.
Pembahasan:
Rumus jumlah deret tak hingga (S_∞) dari deret geometri konvergen adalah:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Sehingga untuk deret ini:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Contoh 4: Barisan dan Deret Bilangan Kuadrat
Soal:
Diketahui sebuah barisan bilangan kuadrat dengan suku pertama (U_1) = 1, suku kedua (U_2) = 4, dan suku ketiga (U_3) = 9. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut. Apakah barisan ini adalah barisan aritmetika atau geometri? Jelaskan.
Pembahasan:
1. Suku ke-5
Pola barisan bilangan kuadrat adalah:
\[
U_n = n^2
\]
Untuk suku ke-5 (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Jenis Barisan
Untuk memeriksa apakah barisan ini adalah aritmetika atau geometri, periksa perbedaan antar suku (bedanya) dan rasio antar suku:
– Perbedaan antara suku (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Karena perbedaannya tidak konstan, barisan ini bukan aritmetika.
– Rasio antar suku (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Karena rasio antar suku tidak konstan, barisan ini bukan geometri.
Jadi, barisan bilangan kuadrat ini bukanlah barisan aritmetika maupun geometri, melainkan barisan khusus yang mengikuti pola angka kuadrat.
Contoh 5: Deret Aritmetika tak Hingga
Soal:
Apakah mungkin menghitung jumlah deret aritmetika tak hingga? Jika ya, berikan contohnya. Jika tidak, jelaskan alasannya.
Pembahasan:
Berbeda dengan deret geometri, deret aritmetika tak hingga biasanya tidak memiliki jumlah yang terbatas. Hal ini disebabkan karena setiap suku semakin besar atau semakin kecil secara linier, sehingga jumlahnya akan terus bertambah tanpa batas.
Sebagai contoh, pertimbangkan deret aritmetika tak hingga dengan suku pertama 1 dan beda 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Jika kita mencoba menjumlahkannya, akan jelas terlihat bahwa deret tersebut tidak akan konvergen ke suatu nilai tetap, melainkan akan mendekati tak hingga. Oleh karena itu, jumlah dari deret aritmetika tak hingga, pada umumnya, adalah tak hingga dan tidak bisa dihitung seperti deret geometri konvergen.
—
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai barisan dan deret. Kita telah meninjau barisan aritmetika dan geometri serta melihat bagaimana menghitung suku ke-n dan jumlah suku-suku pertama mereka, serta menjawab pertanyaan mengenai deret tak hingga. Dengan memahami konsep dasar dan contoh-contoh ini, diharapkan Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi materi barisan dan deret dalam pelajaran matematika.
