Contoh Soal Pembahasan Kaitan Matriks dengan Transformasi
Pendahuluan
Matriks adalah kumpulan bilangan atau elemen yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks digunakan secara luas dalam berbagai bidang seperti statistika, fisika, ekonomi, dan khususnya dalam transformasi geometri dalam matematika dan grafik komputer. Matriks juga memberikan alat yang efektif untuk memanipulasi data serta untuk mendeskripsikan dan menyelesaikan berbagai permasalahan matematika. Salah satu aplikasi penting dari matriks adalah dalam transformasi linear, di mana operasi matriks digunakan untuk merubah bentuk dan posisi objek geometris dalam ruang.
Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal yang menggambarkan bagaimana matriks digunakan untuk transformasi linear, dan akan menjelaskan solusinya secara rinci.
Definisi dan Notasi
Untuk memulai, mari kita tinjau beberapa definisi dan notasi dasar yang akan digunakan dalam pembahasan ini:
1. Matriks : Suatu array persegi panjang (rectangular array) dari bilangan yang diatur dalam baris dan kolom.
2. Transformasi Linear : Sebuah fungsi yang mengambil suatu vektor dan memetakan vektor tersebut ke vektor lain menggunakan operasi matriks.
3. Vektor : Sebuah elemen dari himpunan vektor yang memiliki panjang dan arah, biasanya diwakili sebagai kolom atau baris dalam matriks.
Notasi matriks umumnya ditulis dalam bentuk huruf kapital, misalnya \( A \), \( B \), dan vektor ditulis dalam huruf tebal atau dengan tanda panah di atasnya, misalnya \( \mathbf{v} \) atau \( \vec{v} \).
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Transformasi Rotasi
Diberikan matriks transformasi rotasi \( R \) sebesar sudut \( \theta \) dalam ruang dua dimensi:
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]
Vektor \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Tentukan hasil transformasi dari vektor \( \mathbf{v} \) oleh matriks \( R \) jika \( \theta = \frac{\pi}{2} \).
Pembahasan:
Pertama-tama, masukkan nilai sudut \( \theta = \frac{\pi}{2} \) ke dalam matriks \( R \):
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Selanjutnya, kalikan matriks \( R \) dengan vektor \( \mathbf{v} \):
\[ R \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 1) + (-1 \cdot 0) \\ (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Jadi, hasil transformasi vektor \( \mathbf{v} \) oleh matriks \( R \) untuk sudut \( \theta = \frac{\pi}{2} \) adalah vektor \( \mathbf{v’} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Soal 2: Transformasi Skala
Diberikan matriks transformasi skala \( S \) dalam ruang dua dimensi sebagai berikut:
\[ S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Vektor \( \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Temukan hasil transformasi dari vektor \( \mathbf{u} \) oleh matriks \( S \).
Pembahasan:
Kalikan matriks \( S \) dengan vektor \( \mathbf{u} \):
\[ S \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \cdot 1) + (0 \cdot 2) \\ (0 \cdot 1) + (3 \cdot 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \]
Jadi, hasil transformasi vektor \( \mathbf{u} \) oleh matriks \( S \) adalah vektor \( \mathbf{u’} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \).
Soal 3: Transformasi Refleksi
Given the reflection matrix \( F \) with respect to the y-axis:
\[ F = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Calculate the result of transforming the vector \( \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) utilizing the reflection matrix \( F \).
Pembahasan:
Kalikan matriks \( F \) dengan vektor \( \mathbf{w} \):
\[ F \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1 \cdot 3) + (0 \cdot 4) \\ (0 \cdot 3) + (1 \cdot 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
Jadi, hasil transformasi vektor \( \mathbf{w} \) oleh matriks \( F \) adalah vektor \( \mathbf{w’} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \).
Soal 4: Transformasi Gabungan
Misalkan terdapat dua matriks transformasi, matriks rotasi \( R \) sebesar sudut \( \theta = \frac{\pi}{4} \) dan matriks skala \( S \) sebagai berikut:
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
\[ S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Gabungkan transformasi tersebut dan terapkan pada vektor \( \mathbf{z} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Pembahasan:
Pertama, hitung gabungan matriks transformasi \( RS \):
\[ RS = R \cdot S = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) & (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3) \\ (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) & (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
Kemudian, kalikan matriks gabungan \( RS \) dengan vektor \( \mathbf{z} \):
\[ RS \mathbf{z} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\sqrt{2} \cdot 1) + (-\frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 1) \\ (\sqrt{2} \cdot 1) + (\frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} – \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
Jadi, hasil transformasi gabungan vektor \( \mathbf{z} \) oleh matriks \( RS \) adalah:
\[ \mathbf{z’} = \begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{5\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal yang menunjukkan bagaimana matriks digunakan untuk transformasi linear. Transformasi matriks memainkan peran penting dalam banyak bidang, khususnya dalam grafik komputer dan analisis data. Dengan memahami dasar-dasar transformasi matriks seperti rotasi, skala, dan refleksi, kita dapat melanjutkan untuk mengaplikasikan konsep-konsep ini pada masalah yang lebih kompleks. Penguasaan konsep ini akan sangat bermanfaat bagi siapa saja yang bekerja di bidang matematika, fisika, atau komputer.
