Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Fungsi Diam
Fungsi matematika adalah topik yang cukup mendalam dan penuh dengan berbagai jenis karakteristik, salah satunya adalah bagaimana fungsi tersebut dapat dianalisis dalam hal kenaikan, penurunan, atau status diam (statis). Mengetahui apakah sebuah fungsi naik, turun atau tetap pada interval tertentu sangat penting dalam berbagai aplikasi matematika, termasuk dalam ekonomi, fisika, dan teknik. Artikel ini akan membahas contoh soal dan pembahasannya terkait dengan fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam.
Apa Itu Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Fungsi Diam?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta.
Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \). – Untuk \( x \in (-1, 2) \): Ambil \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Karena \( f'(0) < 0 \), maka \( f(x) \) turun pada interval \( (-1, 2) \).
- Untuk \( x \in (2, \infty) \): Ambil \( x = 3 \)
\[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \]
Karena \( f'(3) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (2, \infty) \).
Jadi, fungsi \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Contoh Soal 2: Menentukan Interval Fungsi Turun
Diberikan fungsi \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut turun!
Pembahasan:
1. Langkah 1: Mencari turunan pertama :
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Langkah 2: Menentukan titik kritis :
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Jadi titik kritisnya adalah \( x = 0 \) dan \( x = \frac{3}{2} \).
3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval tersebut :
– Untuk \( x \in (-\infty, 0) \): Ambil \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
Jadi, fungsi \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Contoh Soal 3: Menentukan Interval Fungsi Diam
Diberikan fungsi \( h(x) = 7 \), tentukan interval-interval dimana fungsi tersebut diam!
Pembahasan:
Fungsi konstanta seperti \( h(x) = 7 \) mempunyai turunan pertama sebesar nol untuk semua \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Karena turunan pertama selalu nol, fungsi diam pada seluruh domain, jadi kita dapat mengatakan bahwa fungsi \( h(x) = 7 \) diam pada seluruh real number, yang dalam notasi intervalnya adalah \( (-\infty, \infty) \).
Kesimpulan
Memahami interval kenaikan, penurunan, dan keadaan diam dari suatu fungsi adalah bagian penting dari analisis fungsi. Melalui contoh-contoh soal di atas, kita telah membahas konsep dasar serta langkah-langkah yang diperlukan untuk mencari interval-interval tersebut. Pengetahuan ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi praktis dan teori dalam matematika.
