Contoh Soal Pembahasan Limit Fungsi Aljabar
Limit fungsi aljabar merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus yang membahas perilaku suatu fungsi saat nilai variabel mendekati suatu titik tertentu. Memahami limit sangat penting dalam berbagai aplikasi matematika, termasuk dalam analisis dan pemodelan matematika. Artikel ini akan menguraikan konsep limit fungsi aljabar dengan memberikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.
Konsep Dasar Limit Fungsi Aljabar
Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita tinjau konsep dasar dari limit. Limit dari sebuah fungsi \( f(x) \) saat \( x \) mendekati nilai \( a \) dilambangkan dengan:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]
yang berarti bahwa nilai \( f(x) \) mendekati \( L \) saat \( x \) mendekati \( a \).
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Limit Fungsi Aljabar Sederhana
Tentukan nilai limit berikut:
\[ \lim_{x \to 2} (3x + 4) \]
Pembahasan:
Untuk fungsi linear seperti ini, kita dapat langsung substitusi nilai \( x \) dengan 2:
\[ \lim_{x \to 2} (3x + 4) = 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10 \]
Jadi, \( \lim_{x \to 2} (3x + 4) = 10 \).
Contoh Soal 2: Limit Fungsi Polinomial
Tentukan nilai limit berikut:
\[ \lim_{x \to -1} (x^2 + 2x + 1) \]
Pembahasan:
Seperti pada soal pertama, kita dapat langsung substitusi nilai \( x \) dengan -1 pada fungsi polinomial:
\[ \lim_{x \to -1} (x^2 + 2x + 1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 \]
\[ = 1 – 2 + 1 \]
\[ = 0 \]
Jadi, \( \lim_{x \to -1} (x^2 + 2x + 1) = 0 \).
Contoh Soal 3: Limit Fungsi Aljabar dengan Pecahan
Tentukan nilai limit berikut:
\[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} \]
Pembahasan:
Jika kita substitusi \( x = 3 \) langsung ke fungsi, kita mendapatkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \). Untuk menyelesaikannya, kita perlu melakukan faktorisasi:
\[ \frac{x^2 – 9}{x – 3} = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} \]
Sebelum membatalkan \( x – 3 \), perhatikan bahwa \( x \neq 3 \), sehingga kita bisa membatalkan \( x – 3 \):
\[ = x + 3 \]
Sekarang substitusi \( x = 3 \):
\[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 3 + 3 = 6 \]
Jadi, \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6 \).
Contoh Soal 4: Limit Fungsi dengan Akar
Tentukan nilai limit berikut:
\[ \lim_{x \to 4} \sqrt{2x + 1} \]
Pembahasan:
Karena fungsi dalam akar adalah fungsi kontinu, kita bisa langsung substitusi nilai \( x = 4 \):
\[ \lim_{x \to 4} \sqrt{2x + 1} = \sqrt{2(4) + 1} \]
\[ = \sqrt{8 + 1} \]
\[ = \sqrt{9} \]
\[ = 3 \]
Jadi, \( \lim_{x \to 4} \sqrt{2x + 1} = 3 \).
Contoh Soal 5: Limit Fungsi Aljabar dengan Rasionalisasi
Tentukan nilai limit berikut:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} \]
Pembahasan:
Langsung substitusi \( x = 1 \) akan menghasilkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \). Maka kita perlu melakukan rasionalisasi. Kalikan pembilang dan penyebut dengan pasangan sekawannya:
\[ \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} \times \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{(\sqrt{x + 3})^2 – 2^2}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \]
Sederhanakan pembilang:
\[ = \frac{x + 3 – 4}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \]
\[ = \frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \]
Batalkan \( x – 1 \) (karena \( x \neq 1 \)):
\[ = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} \]
Sekarang substitusi \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} \]
\[ = \frac{1}{2 + 2} \]
\[ = \frac{1}{4} \]
Jadi, \( \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} = \frac{1}{4} \).
Kesimpulan
Memahami limit fungsi aljabar melibatkan berbagai teknik seperti substitusi langsung, faktorisasi, dan rasionalisasi. Dengan menguasai teknik-teknik ini, kita dapat menangani berbagai bentuk masalah limit dalam kalkulus. Bila kita menghadapi bentuk tak tentu, selalu cari cara untuk menyederhanakan fungsi sehingga limit dapat dihitung dengan tepat. Semoga contoh soal dan pembahasan di atas dapat membantu Anda lebih memahami konsep ini.
