Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang mencakup perubahan eksponensial, baik itu pertumbuhan eksponensial maupun peluruhan eksponensial. Pemahaman mendalam mengenai fungsi ini memiliki berbagai aplikasi praktis dalam kehidupan nyata mulai dari kimia, fisika, biologi, hingga ekonomi. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal fungsi eksponen beserta pembahasannya untuk membantu pemahaman lebih lanjut mengenai topik ini.
Pengenalan Fungsi Eksponen
Sebuah fungsi eksponen memiliki bentuk umum \( y = a \cdot b^x \), di mana:
– \( y \) adalah nilai fungsi
– \( a \) adalah konstanta
– \( b \) adalah basis eksponensial
– \( x \) adalah variabel independen
Biasanya, jika \( b > 1 \), maka fungsi tersebut mengalami pertumbuhan eksponensial, dan jika \( 0 < b < 1 \), maka fungsi tersebut mengalami peluruhan eksponensial. Contoh Soal Fungsi Eksponen Berikut adalah beberapa contoh soal untuk menggambarkan penggunaan fungsi eksponen dan pembahasannya secara mendetail. Contoh Soal 1: Pertumbuhan Populasi Soal: Sebuah populasi bakteri mempunyai 500 organisme dan berkembang biak dengan laju yang dapat dimodelkan oleh fungsi eksponensial \( P(t) = 500 \cdot 2^t \), di mana \( t \) diukur dalam jam. Berapa populasi bakteri setelah 5 jam?
Pembahasan: Dalam soal ini diketahui: - Populasi awal, \( P_0 = 500 \) - \( b = 2 \) - \( t = 5 \) Kita hanya perlu mengaplikasikan nilai \( t \) ke dalam fungsi eksponensial yang diberikan: \[ P(5) = 500 \cdot 2^5 \] Menghitung \( 2^5 \): \[ 2^5 = 32 \] Sekarang, kalikan dengan populasi awal: \[ P(5) = 500 \cdot 32 = 16000 \] Jadi, populasi bakteri setelah 5 jam adalah 16.000 organisme. Contoh Soal 2: Peluruhan Radioaktif Soal: Sebuah sampel radioaktif memiliki 200 gram zat dengan waktu paruh 3 jam. Fungsi eksponensial yang menggambarkan jumlah zat yang tersisa setelah \( t \) jam adalah \( N(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} \). Berapa jumlah zat yang tersisa setelah 9 jam? Pembahasan: Dalam soal ini diketahui: - Massa awal, \( N_0 = 200 \) gram - Basis eksponen, \( b = \frac{1}{2} \) - \( t = 9 \) Kita substitusi nilai \( t = 9 \) ke dalam fungsi eksponensial: \[ N(9) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{9/3} \] Sederhanakan eksponen: \[ 9/3 = 3 \] Jadi fungsi tersebut menjadi: \[ N(9) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \] Menghitung \( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \): \[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \] Sekarang, kalikan dengan massa awal: \[ N(9) = 200 \cdot \frac{1}{8} = 25 \] Jadi, jumlah zat yang tersisa setelah 9 jam adalah 25 gram. Contoh Soal 3: Pertumbuhan Ekonomi Soal: Sebuah negara mengalami pertumbuhan ekonomi sebesar 4% per tahun, yang dapat dimodelkan oleh fungsi eksponensial \( G(t) = G_0 \cdot (1.04)^t \), di mana \( G_0 \) adalah GDP awal dan \( t \) adalah waktu dalam tahun. Jika GDP awal \( G_0 = 1.000.000 \), berapa GDP-nya setelah 7 tahun? Pembahasan: Diberikan: - GDP awal, \( G_0 = 1.000.000 \) - Tingkat pertumbuhan, \( b = 1.04 \) - \( t = 7 \) Kita substitusi nilai \( t = 7 \) ke dalam fungsi eksponensial: \[ G(7) = 1.000.000 \cdot (1.04)^7 \] Menghitung \( (1.04)^7 \): \[ (1.04)^7 \approx 1.316074 \] Sekarang, kalikan dengan GDP awal: \[ G(7) = 1.000.000 \cdot 1.316074 \approx 1.316.074 \] Jadi, GDP setelah 7 tahun diperkirakan menjadi sekitar 1.316.074. Contoh Soal 4: Nilai Investasi Soal: Sebuah investasi awal sebesar 20.000 dengan suku bunga tahunan 5% yang diterapkan dengan komponding tahunan dapat dimodelkan dengan fungsi \( A(t) = 20000 \cdot (1+0.05)^t \), di mana \( A(t) \) adalah nilai total investasi setelah \( t \) tahun. Hitunglah nilai investasi setelah 10 tahun. Pembahasan: Diberikan: - Investasi awal, \( A_0 = 20000 \) - Suku bunga tahunan, \( b = 1.05 \) - \( t = 10 \) Kita substitusi nilai \( t = 10 \) ke dalam fungsi eksponensial: \[ A(10) = 20000 \cdot (1.05)^{10} \] Menghitung \( (1.05)^{10} \): \[ (1.05)^{10} \approx 1.62889 \] Sekarang, kalikan dengan investasi awal: \[ A(10) = 20000 \cdot 1.62889 \approx 32.577,80 \] Jadi, nilai investasi setelah 10 tahun adalah sekitar 32.577,80. Kesimpulan Fungsi eksponen adalah alat yang sangat kuat dalam matematika yang memiliki berbagai aplikasi praktis. Dari pertumbuhan populasi hingga peluruhan radioaktif dan pertumbuhan ekonomi, kemampuan untuk memahami dan menerapkan fungsi eksponen sangatlah penting. Membahas contoh soal seperti di atas membantu memperjelas konsep dan meningkatkan keterampilan pemecahan masalah. Teruslah berlatih dan eksplorasi berbagai aplikasi fungsi eksponen untuk memperdalam pemahaman Anda.