Contoh Soal Pembahasan Kedudukan Suatu Titik Terhadap Lingkaran
Menentukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran adalah topik penting dalam geometri dasar, khususnya dalam kajian tentang lingkaran. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal yang melibatkan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran lengkap dengan pembahasannya. Hal ini akan membantu memperjelas konsep tersebut melalui penerapan praktis.
Pendahuluan
Sebelum menyelam ke contoh soal, mari kita ingat kembali tiga kemungkinan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran:
1. Di dalam lingkaran: Jika jarak titik ke pusat lingkaran lebih kecil dari jari-jari lingkaran.
2. Di luar lingkaran: Jika jarak titik ke pusat lingkaran lebih besar dari jari-jari lingkaran.
3. Pada lingkaran: Jika jarak titik ke pusat lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran.
Secara matematis, kedudukan titik \(T(x_1, y_1)\) terhadap lingkaran yang berpusat di \((a, b)\) dengan jari-jari \(r\) dapat ditentukan dengan membandingkan \(T(x_1, y_1)\) dengan persamaan lingkaran tersebut, yaitu:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Jika hasil substitusi \(x_1\) dan \(y_1\) pada persamaan tersebut memberi nilai:
– Lebih kecil dari \(r^2\), titik berada di dalam lingkaran.
– Lebih besar dari \(r^2\), titik berada di luar lingkaran.
– Sama dengan \(r^2\), titik berada pada lingkaran.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Tentukan kedudukan titik \(T(3, 4)\) terhadap lingkaran dengan persamaan \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mengevaluasi persamaan lingkaran dan mencari jarak dari titik \(T(3, 4)\) ke pusat lingkaran \((1, 2)\).
1. Identifikasi pusat dan jari-jari lingkaran:
Persamaan lingkaran: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Pusat lingkaran (\(a, b\)): (1, 2)
– Jari-jari lingkaran (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Menghitung jarak antara titik \(T(3, 4)\) dan pusat lingkaran \( (1, 2) \):
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Nilai \( 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) (lebih kecil dari \(5\)).
3. Kesimpulan:
Karena \( 2\sqrt{2} < 5 \), maka titik \( T(3, 4) \) berada di dalam lingkaran.
Soal 2
Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik \( (0, 0) \) dan jari-jari 7. Tentukan kedudukan titik \(P(5, 6)\) terhadap lingkaran.
Soal 3
Tentukan kedudukan titik \(M(2, -1)\) terhadap lingkaran dengan persamaan \( x^2 + y^2 = 5 \).
Pembahasan:
1. Menghitung jarak dari titik \(M(2, -1)\) ke pusat lingkaran \( (0, 0) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Bandingkan jarak \(D\) dengan jari-jari lingkaran:
Jari-jari lingkaran (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Kesimpulan:
Karena \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), maka titik \( M(2, -1) \) berada pada lingkaran.
Soal 4
Lingkaran dengan pusat di \( (4, 3) \) memiliki jari-jari \(\sqrt{10}\). Tunjukkan kedudukan titik \( N(7, 7) \) terhadap lingkaran ini.
Pembahasan:
1. Persamaan Lingkaran:
Persamaan lingkaran dengan pusat \( (4, 3) \) dan jari-jari \( \sqrt{10} \) adalah:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Menghitung jarak titik \( N(7, 7) \) ke pusat lingkaran \( (4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Kesimpulan:
Karena \( 5 > \sqrt{10} \), maka titik \( N(7, 7) \) berada di luar lingkaran.
Penutup
Dengan memahami cara menghitung jarak titik dari pusat lingkaran dan mengevaluasi dibandingkan dengan jari-jari lingkaran, kita dapat dengan mudah menentukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran. Pembahasan dalam artikel ini diharapkan memberikan gambaran yang jelas tentang konsep serta cara mengerjakan soal yang melibatkan kedudukan titik terhadap lingkaran.
Dalam praktis, mengetahui kedudukan titik ini sangat bermanfaat dalam berbagai aplikasi matematika, termasuk analisis geometris, desain grafis, dan rekayasa. Oleh karena itu, penguasaan konsep ini merupakan fondasi penting yang patut diperhatikan dan dipahami mendalam.
