Contoh Soal Pembahasan Penjumlahan dan Pengurangan Antarmatriks
Matriks adalah kumpulan angka yang disusun dalam baris dan kolom. Matriks digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti fisika, ekonomi, dan teknik, karena mampu menyajikan data dan hubungan matematis dengan jelas. Dalam matematika, operasi dasar yang sering dilakukan terhadap matriks meliputi penjumlahan dan pengurangan.
Berikut ini akan dibahas contoh soal beserta pemecahan langkah demi langkah untuk memahami bagaimana penjumlahan dan pengurangan antarmatriks dilakukan.
Contoh Soal Penjumlahan Matriks
Soal 1:
Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
\[ B = \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
Hitunglah matriks C = A + B.
Pembahasan:
Untuk menjumlahkan dua matriks, kita cukup menjumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi yang sama dalam masing-masing matriks.
\[ C = A + B = \begin{pmatrix} (1+9) & (2+8) & (3+7) \\ (4+6) & (5+5) & (6+4) \\ (7+3) & (8+2) & (9+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \end{pmatrix} \]
Jadi, matriks C adalah:
\[ C = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \end{pmatrix} \]
Contoh Soal Pengurangan Matriks
Soal 2:
Diberikan matriks M dan N sebagai berikut:
\[ M = \begin{pmatrix} 15 & 10 \\ 5 & 20 \end{pmatrix} \]
\[ N = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix} \]
Hitunglah matriks P = M – N.
Pembahasan:
Untuk mengurangkan dua matriks, kita cukup mengurangkan elemen-elemen yang berada pada posisi yang sama dalam masing-masing matriks.
\[ P = M – N = \begin{pmatrix} (15-5) & (10-2) \\ (5-1) & (20-10) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} \]
Jadi, matriks P adalah:
\[ P = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} \]
Contoh Soal Gabungan Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Soal 3:
Diberikan matriks X, Y, dan Z sebagai berikut:
\[ X = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 9 & 11 & 13 \\ 15 & 17 & 19 \end{pmatrix} \]
\[ Y = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
\[ Z = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{pmatrix} \]
Hitunglah matriks W = X + Y – Z.
Pembahasan:
Kita akan melakukan operasi matriks dengan langkah per langkah:
1. Hitung matriks X + Y
\[ X + Y = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 9 & 11 & 13 \\ 15 & 17 & 19 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3+1) & (5+2) & (7+3) \\ (9+4) & (11 + 5) & (13+6) \\ (15 + 7) & (17 + 8) & (19 + 9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 10 \\ 13 & 16 & 19 \\ 22 & 25 & 28 \end{pmatrix} \]
2. Hitung matriks hasil X + Y dikurangi matriks Z
\[ W = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 10 \\ 13 & 16 & 19 \\ 22 & 25 & 28 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4-2) & (7-3) & (10-4) \\ (13-5) & (16-6) & (19-7) \\ (22-8) & (25-9) & (28-10) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix} \]
Jadi, matriks W adalah:
\[ W = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix} \]
Kesimpulan
Penjumlahan dan pengurangan matriks adalah operasi dasar yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematika dan sains. Prinsip dasar dari operasi ini adalah menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen dari dua matriks yang memiliki dimensi yang sama. Pada intinya, elemen-elemen pada baris dan kolom yang sama dalam matriks pertama dan kedua akan dioperasikan satu persatu.
Pemahaman dasar terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan matriks akan sangat membantu dalam memecahkan soal-soal yang lebih kompleks yang melibatkan matriks, seperti dalam transformasi linear, sistem persamaan linear, dan dalam analisis data multidimensi. Mempraktekkan berbagai contoh soal seperti di atas tentu akan memperkuat pemahaman kita tentang operasi ini.
Terus eksplorasi dan coba soal-soal matriks lainnya untuk lebih menguasai teknik ini. Selamat belajar!
