Contoh Soal Pembahasan Fungsi Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang menggambarkan jumlah keberhasilan dalam suatu percobaan yang terdiri dari sejumlah percobaan independen dengan dua hasil yang mungkin, yaitu keberhasilan dan kegagalan. Setiap percobaan ini disebut trial, dan distribusi binomial sering digunakan dalam situasi di mana hitungan keberhasilan dari sejumlah trial independen menjadi minat. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar distribusi binomial dan memberikan contoh soal beserta pembahasannya.
Konsep Dasar Fungsi Distribusi Binomial
Sebelum kita masuk ke contoh soal dan pembahasan, mari kita bahas beberapa konsep dasar yang terkait dengan distribusi binomial.
1. Definisi : Distribusi binomial didefinisikan sebagai jumlah dari keberhasilan dalam ‘n’ percobaan yang independen, di mana setiap percobaan memiliki dua hasil yang mungkin: keberhasilan (dengan probabilitas p) atau kegagalan (dengan probabilitas q = 1 – p).
2. Fungsi Probabilitas : Fungsi probabilitas dari distribusi binomial adalah:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
di mana:
– \( P(X = k) \) adalah probabilitas terdapatnya k keberhasilan dalam n percobaan.
– \( \binom{n}{k} \) adalah kombinasi n ambil k, yang didefinisikan sebagai \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
– \( p \) adalah probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan.
– \( (1-p) \) adalah probabilitas kegagalan pada setiap percobaan.
3. Nilai Harapan dan Variansi :
– Nilai harapan (mean) dari distribusi binomial adalah \( \mu = np \).
– Variansi dari distribusi binomial adalah \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Sekarang, mari kita terapkan konsep-konsep ini dalam contoh soal untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam.
Contoh Soal 1: Hitungan Dasar Distribusi Binomial
Soal :
Sebuah perusahaan memproduksi komponen elektronik dengan probabilitas 0.95 bahwa setiap komponen yang diproduksi lulus uji kualitas. Jika 10 komponen diproduksi, hitunglah probabilitas bahwa tepat 8 komponen lulus uji kualitas.
Pembahasan :
Kita bisa menggunakan rumus distribusi binomial untuk menyelesaikan soal ini. Pertama, kita identifikasi parameter-parameter berikut:
– \( n \) (jumlah total percobaan) = 10
– \( k \) (jumlah keberhasilan) = 8
– \( p \) (probabilitas keberhasilan) = 0.95
– \( q \) (probabilitas kegagalan) = 1 – 0.95 = 0.05
Kemudian substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus distribusi binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Pertama, hitung kombinasi \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Kemudian, hitung probabilitas \( (0.95)^8 \) dan \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \approx 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Akhirnya, kalikan semua nilai tersebut untuk mendapatkan:
\[
P(X = 8) = 45 \times 0.6634 \times 0.0025 \approx 0.0744
\]
Jadi, probabilitas bahwa tepat 8 dari 10 komponen lulus uji kualitas adalah sekitar 0.0744 atau 7.44%.
Contoh Soal 2: Probabilitas Kumulatif
Soal :
Masih dengan perusahaan yang sama, hitunglah probabilitas bahwa paling sedikit 9 dari 10 komponen lulus uji kualitas.
Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung probabilitas kumulatif. Probabilitas bahwa paling sedikit 9 dari 10 komponen lulus uji berarti kita menghitung \( P(X \geq 9) \), yang bisa ditulis sebagai:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Menggunakan rumus distribusi binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Pertama, hitung kombinasi untuk masing-masing kasus:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Kemudian, hitung probabilitas untuk \( P(X = 9) \) dan \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 \times (0.95)^9 \times 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \approx 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \times 0.6302 \times 0.05 \approx 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \approx 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Total probabilitas untuk \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \approx 0.9138
\]
Jadi, probabilitas bahwa paling sedikit 9 dari 10 komponen lulus uji kualitas adalah sekitar 0.9138 atau 91.38%.
Contoh Soal 3: Nilai Harapan dan Variansi
Soal :
Hitung nilai harapan dan variansi dari jumlah komponen yang lulus uji kualitas dari 10 komponen yang diproduksi, dengan probabilitas lulus 0.95.
Pembahasan :
Gunakan rumus berikut:
– Nilai harapan (mean) \( \mu = np \)
– Variansi \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Dengan \( n = 10 \) dan \( p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Jadi, nilai harapan dari jumlah komponen yang lulus uji kualitas adalah 9.5, dan variansinya adalah 0.475.
Kesimpulan
Melalui tiga contoh soal di atas, kita telah membahas cara menghitung probabilitas menggunakan distribusi binomial untuk berbagai situasi: menghitung probabilitas eksak, probabilitas kumulatif, dan menghitung nilai harapan serta variansi. Pengetahuan tentang distribusi binomial sangat berguna dalam berbagai bidang, seperti manufaktur, riset medis, dan statistik sosial, di mana hasil percobaan berulang dengan dua kemungkinan hasil dapat dianalisis untuk membantu dalam pengambilan keputusan. Semoga contoh soal dan pembahasan yang disediakan dapat membantu dalam pemahaman lebih lanjut tentang distribusi binomial.
