Contoh Soal dan Pembahasan Peluruhan Eksponen
Peluruhan eksponen adalah fenomena alamiah yang banyak ditemukan dalam berbagai disiplin ilmu seperti fisika, kimia, biologi, dan ekonomi. Sebagai sebuah model matematika, peluruhan eksponen menggambarkan proses di mana jumlah tertentu yang berkurang secara proporsional terhadap jumlah sekarang. Dalam matematika, peluruhan eksponen mengikuti bentuk umum:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
di mana:
– \( N(t) \) adalah jumlah yang tersisa pada waktu \( t \),
– \( N_0 \) adalah jumlah awal,
– \( \lambda \) adalah konstanta peluruhan (sering disebut laju peluruhan),
– \( t \) adalah waktu,
– \( e \) adalah basis dari logaritma alami (sekitar 2.718).
Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal peluruhan eksponen bersama dengan pembahasannya untuk membantu memahami konsep ini lebih dalam.
Contoh Soal 1: Peluruhan Radioaktif
Soal:
Suatu zat radioaktif memiliki waktu paruh 5 tahun. Jika pada awalnya terdapat 100 gram zat tersebut, berapa banyak yang tersisa setelah 15 tahun?
Pembahasan:
Peluruhan radioaktif dapat dimodelkan dengan rumus peluruhan eksponen. Waktu paruh (\( t_{1/2} \)) adalah waktu yang diperlukan bagi setengah jumlah zat radioaktif untuk meluruh. Diketahui \( t_{1/2} = 5 \) tahun.
Pertama kita perlu mencari konstanta peluruhan \( \lambda \) dengan rumus:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ tahun}^{-1} \]
Dengan demikian, rumus peluruhan eksponen adalah:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
Sekarang, kita menghitung nilainya:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \times 0.125 \]
\[ N(t) \approx 12.5 \text{ gram} \]
Jadi, setelah 15 tahun, sekitar 12.5 gram zat radioaktif tersisa.
Contoh Soal 2: Peluruhan Kapasitor
Soal:
Sebuah kapasitor dengan muatan awal \( Q_0 = 200 \text{ C} \) dibiarkan meluruh dalam sebuah rangkaian. Diketahui bahwa konstanta waktu (time constant) \( \tau = 4 \text{ s} \). Berapa banyak muatan yang tersisa setelah 10 detik?
Pembahasan:
Dalam kasus peluruhan muatan kapasitor, model eksponensial yang digunakan adalah:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
Diketahui \( Q_0 = 200 \text{ C} \) dan \( \tau = 4 \text{ s} \). Kita perlu mencari \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Menghitung nilai eksponensial:
\[ Q(10) = 200 \times 0.0821 \]
\[ Q(10) \approx 16.42 \text{ C} \]
Jadi, setelah 10 detik, sisa muatan pada kapasitor adalah sekitar 16.42 C.
Contoh Soal 3: Peluruhan Bahan Kimia
Soal:
Suatu bahan kimia memiliki konstanta peluruhan \( \lambda = 0.05 \text{ hari}^{-1} \). Berapa lama waktu yang diperlukan agar bahan kimia tersebut berkurang menjadi 25% dari jumlah awalnya?
Pembahasan:
Kita mulai dengan rumus umum peluruhan eksponen:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Kita ingin N(t) menjadi 25% dari \( N_0 \), sehingga:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Menghilangkan \( N_0 \) dari kedua sisi:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Menggunakan logaritma alami untuk memecahkan kasus eksponensial:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Menyelesaikan untuk \( t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \approx 27.726 \text{ hari} \]
Jadi, waktu yang diperlukan agar bahan kimia tersebut berkurang menjadi 25% dari jumlah awalnya adalah sekitar 27.726 hari.
Contoh Soal 4: Peluruhan Populasi Bakteri
Soal:
Sebuah populasi bakteri berkurang dengan laju eksponensial sehingga setelah 3 jam, jumlah populasinya adalah setengah dari jumlah awalnya. Jika populasi awal adalah 8000 bakteri, berapa banyak bakteri yang tersisa setelah 9 jam?
Pembahasan:
Diketahui bahwa waktu paruh \( t_{1/2} = 3 \) jam. Pertama kita mencari konstanta peluruhan \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ jam}^{-1} \]
Setelah itu, kita gunakan rumus peluruhan eksponen:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
Menghitung nilai eksponensial:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \times 0.125 \]
\[ N(9) \approx 1000 \]
Jadi, setelah 9 jam, sekitar 1000 bakteri akan tersisa.
Kesimpulan
Model peluruhan eksponen memberikan pendekatan yang efisien untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan proses peluruhan dalam berbagai aplikasi ilmiah dan teknik. Dengan memahami konsep dasar seperti konstanta peluruhan, waktu paruh, dan penggunaan rumus eksponensial, kita dapat menghitung perubahan kuantitas yang terjadi dari waktu ke waktu dengan relatif mudah. Latihan soal-soal yang telah dibahas di atas diharapkan mampu membantu dalam memahami dan mengaplikasikan konsep peluruhan eksponen pada situasi yang lebih kompleks.
