Contoh Soal Pembahasan Fungsi Invers
Fungsi invers adalah konsep fundamental dalam matematika yang sering dihadapi di berbagai tingkat pendidikan. Konsep ini membantu kita memahami bagaimana cara “membalik” fungsi atau menemukan fungsi yang menghasilkan nilai awal dari suatu output fungsi asli. Dalam artikel ini, kita akan mengupas tuntas konsep fungsi invers dengan berbagai contoh soal dan metode penyelesaian.
Pemahaman Dasar Fungsi Invers
Fungsi invers, notasi yang umum digunakan adalah \( f^{-1} \), adalah fungsi yang mengembalikan nilai asal dari suatu fungsi \( f \). Secara sederhana, jika \( f(x) = y \), maka \( f^{-1}(y) = x \).
Misalnya, Anda memiliki fungsi \( f(x) = 2x + 3 \). Jika Anda memasukkan nilai \( x = 2 \), maka hasilnya adalah \( f(2) = 2(2) + 3 = 7 \). Fungsi invers dari \( f \), yang kita notasi \( f^{-1}(x) \), seharusnya mengembalikan kita ke nilai awal jika kita masukkan 7: \( f^{-1}(7) = 2 \).
Langkah-langkah Menemukan Fungsi Invers
Berikut langkah-langkah umum untuk menemukan fungsi invers dari suatu fungsi \( f(x) \):
1. Gantikan \( f(x) \) dengan \( y \):
Misalnya, \( f(x) = 2x + 3 \), kita tuliskan sebagai \( y = 2x + 3 \).
2. Tukar posisi \( x \) dan \( y \):
Untuk menemukan inversnya, kita tukar \( x \) dan \( y \) sehingga menjadi \( x = 2y + 3 \).
3. Pecahkan persamaan tersebut untuk \( y \):
Kita selesaikan persamaan \( x = 2y + 3 \) untuk \( y \):
\[
\begin{align }
x &= 2y + 3 \\
x – 3 &= 2y \\
y &= \frac{x – 3}{2}
\end{align }
\]
4. Tulis Fungsi Invers:
Fungsi invers \( f^{-1}(x) \) dari \( f(x) = 2x + 3 \) adalah \( f^{-1}(x) = \frac{x – 3}{2} \).
Kini, kita pahami konsep dasar ini dengan beberapa contoh soal.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Soal: Temukan fungsi invers dari \( f(x) = \frac{1}{x – 4} \).
Pembahasan:
1. Gantikan \( f(x) \) dengan \( y \):
\[
y = \frac{1}{x – 4}
\]
2. Tukar posisi \( x \) dan \( y \):
\[
x = \frac{1}{y – 4}
\]
3. Pecahkan persamaan tersebut untuk \( y \):
\[
\begin{align }
x &= \frac{1}{y – 4} \\
xy &= 1 \\
xy – 4x &= 1 \\
xy – 4x &= 1 \\
y – 4 &= \frac{1}{x} \\
y &= \frac{1}{x} + 4
\end{align }
\]
4. Tulis Fungsi Invers:
Fungsi invers \( f^{-1}(x) \) adalah \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 4 \).
Contoh Soal 2
Soal: Carilah fungsi invers dari \( g(x) = 3 – 5x \).
Pembahasan:
1. Gantikan \( g(x) \) dengan \( y \):
\[
y = 3 – 5x
\]
2. Tukar posisi \( x \) dan \( y \):
\[
x = 3 – 5y
\]
3. Pecahkan persamaan tersebut untuk \( y \):
\[
\begin{align }
x &= 3 – 5y \\
x – 3 &= -5y \\
y &= \frac{3 – x}{5}
\end{align }
\]
4. Tulis Fungsi Invers:
Fungsi invers \( g^{-1}(x) \) adalah \( g^{-1}(x) = \frac{3 – x}{5} \).
Contoh Soal 3
Soal: Jika \( h(x) = \sqrt{x + 2} \), carilah fungsi invers \( h^{-1}(x) \).
Pembahasan:
1. Gantikan \( h(x) \) dengan \( y \):
\[
y = \sqrt{x + 2}
\]
2. Tukar posisi \( x \) dan \( y \):
\[
x = \sqrt{y + 2}
\]
3. Pecahkan persamaan tersebut untuk \( y \):
\[
\begin{align }
x &= \sqrt{y + 2} \\
x^2 &= y + 2 \\
y &= x^2 – 2
\end{align }
\]
4. Tulis Fungsi Invers:
Fungsi invers \( h^{-1}(x) \) adalah \( h^{-1}(x) = x^2 – 2 \).
Contoh Soal 4
Soal: Temukan fungsi invers dari \( k(x) = \ln(x – 1) \) (dengan \( x > 1 \)).
Pembahasan:
1. Gantikan \( k(x) \) dengan \( y \):
\[
y = \ln(x – 1)
\]
2. Tukar posisi \( x \) dan \( y \):
\[
x = \ln(y – 1)
\]
3. Pecahkan persamaan tersebut untuk \( y \):
\[
\begin{align }
x &= \ln(y – 1) \\
e^x &= y – 1 \\
y &= e^x + 1
\end{align }
\]
4. Tulis Fungsi Invers:
Fungsi invers \( k^{-1}(x) \) adalah \( k^{-1}(x) = e^x + 1 \).
Kesimpulan
Memahami fungsi invers memerlukan latihan dan pemahaman step-by-step dari konsep serta aplikasinya. Proses utamanya adalah menukar posisi variabel, menyelesaikan persamaan, dan menuliskan hasil akhirnya dalam bentuk fungsi invers. Mempelajari berbagai contoh soal, seperti yang telah dibahas di atas, dapat membantu kita semakin terlatih dalam menemukan dan memahami konsep fungsi invers.
Melalui latihan dan pemahaman yang komprehensif terhadap berbagai contoh soal, kita akan mampu mengatasi berbagai jenis masalah yang melibatkan fungsi invers dengan lebih percaya diri.
