Contoh Soal Pembahasan Barisan Geometri
Barisan geometri adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering diajarkan pada jenjang pendidikan menengah atas. Barisan ini terdiri dari sejumlah bilangan yang masing-masing adalah hasil perkalian bilangan sebelumnya dengan sebuah konstanta yang dikenal sebagai “rasio”. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai barisan geometri, dengan harapan dapat membantu pembaca memahami konsep ini dengan lebih baik.
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang dibentuk dengan mengalikan suatu bilangan pertama (a) dengan sebuah rasio tetap (r). Secara umum, bentuk umum dari barisan geometri adalah:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Di sini:
– “a” adalah suku pertama dari barisan.
– “r” adalah rasio perbandingan dari satu suku dengan suku sebelumnya.
– “n” adalah suku ke-n dalam barisan.
Contoh Soal dan Pembahasan
Mari kita bahas beberapa contoh soal untuk memahami lebih jauh tentang barisan geometri.
Contoh Soal 1
Soal:
Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (a) adalah 3 dan rasio (r) adalah 2. Tentukan:
1. Suku ke-5 dari barisan tersebut.
2. Jumlah dari 6 suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
1. Suku ke-5 (U5) dapat dihitung dengan rumus suku ke-n dari barisan geometri yaitu:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Menggantikan a = 3, r = 2, dan n = 5 ke dalam rumus:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 48.
2. Jumlah dari 6 suku pertama (S6) suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus jumlah n suku pertama, yaitu:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Menggantikan a = 3, r = 2, dan n = 6 ke dalam rumus:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
Jadi, jumlah dari 6 suku pertama barisan tersebut adalah 189.
Contoh Soal 2
Soal:
Sebuah barisan geometri memiliki suku ke-3 sebesar 27 dan suku ke-5 sebesar 243. Tentukan nilai suku pertama (a) dan rasio (r).
Pembahasan:
Diketahui U3 = 27 dan U5 = 243. Menggunakan rumus suku ke-n dari barisan geometri:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Untuk U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
Untuk U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Membandingkan persamaan (1) dan (2) untuk mengeliminasi a:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ atau } r = -3 \]
Substitusi nilai r ke dalam persamaan (1):
Jika \( r = 3 \):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Jika \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Jadi, suku pertama (a) adalah 3, dan rasio (r) bisa bernilai 3 atau -3.
Contoh Soal 3
Soal:
Tentukan jumlah tak hingga dari barisan geometri berikut jika suku pertama (a) adalah 8 dan rasio (r) adalah 1/2.
Pembahasan:
Jumlah tak hingga dari barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Menggantikan a = 8 dan r = 1/2 ke dalam rumus:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Jadi, jumlah tak hingga dari barisan geometri tersebut adalah 16.
Contoh Soal 4
Soal:
Barisan geometri memiliki suku ke-2 sebesar 12 dan suku ke-4 sebesar 108. Tentukan rasio dan suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
Diketahui \( U_2 = 12 \) dan \( U_4 = 108 \). Menggunakan rumus suku ke-n dari barisan geometri:
Untuk \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
Untuk \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Membandingkan persamaan (1) dan (2) untuk mengeliminasi a:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ atau } r = -3 \]
Substitusi nilai r ke dalam persamaan (1):
Jika \( r = 3 \):
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Jika \( r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Jadi, suku pertama (a) bisa bernilai 4 atau -4, dan rasio (r) bisa bernilai 3 atau -3.
Kesimpulan
Barisan geometri adalah konsep matematika yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang. Dengan memahami dasar-dasarnya, serta melatih kemampuan menyelesaikan soal-soal terkait, diharapkan kita dapat lebih mahir dalam pemahaman dan penerapan konsep tersebut. Artikel ini menyertakan beberapa contoh soal dan pembahasan untuk membantu pembaca mempelajari dan memahami barisan geometri secara lebih mendalam. Semoga bermanfaat!
