Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang sering muncul baik dalam ujian sekolah maupun kompetisi matematika. Memahami konsep fungsi aljabar dan cara menyelesaikan soal-soal terkait adalah kunci keberhasilan dalam menguasai topik ini. Artikel ini akan menguraikan beberapa contoh soal beserta pembahasan fungsi aljabar secara mendetail.
Pendahuluan
Fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap elemen di suatu himpunan (disebut domain) dengan tepat satu elemen di himpunan yang lain (disebut kodomain). Matematis, fungsi dapat dinyatakan sebagai \( f: A \to B \), di mana \( f \) adalah fungsi yang memetakan elemen-elemen dalam himpunan \( A \) ke elemen-elemen dalam himpunan \( B \). Notasi umum untuk fungsi adalah \( f(x) \), yang berarti bahwa \( f \) adalah fungsi yang bergantung pada variabel \( x \).
Contoh Soal 1: Fungsi Linear
Soal: Tentukan persamaan garis \( f(x) \) yang melalui titik (2, 3) dan memiliki gradien 4.
Pembahasan:
Fungsi linear umum bentuknya adalah \( f(x) = mx + c \), di mana \( m \) adalah gradien dan \( c \) adalah intercept y.
1. Substitusi nilai gradien \( m = 4 \) ke dalam persamaan:
\[
f(x) = 4x + c
\]
2. Gunakan titik (2, 3) untuk menemukan \( c \):
\[
3 = 4(2) + c
\]
\[
3 = 8 + c
\]
\[
c = 3 – 8
\]
\[
c = -5
\]
3. Dengan \( m = 4 \) dan \( c = -5 \), persamaan garisnya adalah:
\[
f(x) = 4x – 5
\]
Contoh Soal 2: Fungsi Kuadrat
Soal: Diketahui fungsi kuadrat \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Jika diketahui grafik fungsi tersebut melalui titik (1, 4), (2, 7), dan (3, 12), tentukan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \).
Pembahasan:
1. Substitusi titik (1, 4) ke dalam persamaan:
\[
4 = a(1)^2 + b(1) + c
\]
\[
4 = a + b + c \quad \text{(Persamaan 1)}
\]
2. Substitusi titik (2, 7) ke dalam persamaan:
\[
7 = a(2)^2 + b(2) + c
\]
\[
7 = 4a + 2b + c \quad \text{(Persamaan 2)}
\]
3. Substitusi titik (3, 12) ke dalam persamaan:
\[
12 = a(3)^2 + b(3) + c
\]
\[
12 = 9a + 3b + c \quad \text{(Persamaan 3)}
\]
4. Selesaikan sistem persamaan linier:
– Kurangi Persamaan 1 dari Persamaan 2:
\[
(7 – 4) = (4a + 2b + c) – (a + b + c)
\]
\[
3 = 3a + b \quad \text{(Persamaan 4)}
\]
– Kurangi Persamaan 2 dari Persamaan 3:
\[
(12 – 7) = (9a + 3b + c) – (4a + 2b + c)
\]
\[
5 = 5a + b \quad \text{(Persamaan 5)}
\]
5. Kurangi Persamaan 4 dari Persamaan 5:
\[
(5 – 3) = (5a + b) – (3a + b)
\]
\[
2 = 2a
\]
\[
a = 1
\]
6. Substitusi \( a = 1 \) ke dalam Persamaan 4:
\[
3 = 3(1) + b
\]
\[
3 = 3 + b
\]
\[
b = 0
\]
7. Substitusi \( a = 1 \) dan \( b = 0 \) ke dalam Persamaan 1:
\[
4 = 1 + 0 + c
\]
\[
c = 3
\]
Jadi, nilai-nilai \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah:
\[
a = 1, \quad b = 0, \quad c = 3
\]
Maka, fungsi kuadratnya adalah:
\[
f(x) = x^2 + 3
\]
Contoh Soal 3: Fungsi dan Trigonometri
Soal: Diketahui suatu fungsi \( f(x) = 2 \sin (x) + \cos (x) \). Tentukan \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \).
Pembahasan:
1. Substitusi \( x = \frac{\pi}{2} \) ke dalam fungsi:
\[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)
\]
2. Ingat bahwa nilai trigonometri:
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{dan} \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
3. Maka kita dapatkan:
\[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2(1) + 0
\]
\[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2
\]
Contoh Soal 4: Komposisi Fungsi
Soal: Diketahui fungsi \( f(x) = 2x + 1 \) dan \( g(x) = x^2 – 3 \). Tentukan \( (f \circ g)(x) \) dan \( (g \circ f)(x) \).
Pembahasan:
1. \( (f \circ g)(x) \) :
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x))
\]
Substitusi \( g(x) \) ke dalam \( f(x) \):
\[
g(x) = x^2 – 3
\]
\[
f(g(x)) = f(x^2 – 3)
\]
Terapkan \( f(x) = 2x + 1 \):
\[
f(x^2 – 3) = 2(x^2 – 3) + 1
\]
\[
= 2x^2 – 6 + 1
\]
\[
= 2x^2 – 5
\]
2. \( (g \circ f)(x) \) :
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x))
\]
Substitusi \( f(x) \) ke dalam \( g(x) \):
\[
f(x) = 2x + 1
\]
\[
g(f(x)) = g(2x + 1)
\]
Terapkan \( g(x) = x^2 – 3 \):
\[
g(2x + 1) = (2x + 1)^2 – 3
\]
\[
= 4x^2 + 4x + 1 – 3
\]
\[
= 4x^2 + 4x – 2
\]
Jadi, hasil akhirnya:
\[
(f \circ g)(x) = 2x^2 – 5
\]
\[
(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x – 2
\]
Kesimpulan
Fungsi aljabar mencakup banyak aspek mulai dari fungsi linear, fungsi kuadrat, hingga komposisi fungsi. Dalam artikel ini, telah disajikan beberapa contoh soal beserta pembahasan secara mendetail. Memahami cara menyelesaikan soal-soal ini akan sangat membantu dalam menguasai topik fungsi aljabar dan penerapan konsep-konsep matematis lainnya.
Dengan latihan rutin dan pemahaman konsep yang baik, menyelesaikan soal-soal aljabar fungsi akan menjadi sebuah keterampilan yang dapat diandalkan. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk mencari referensi tambahan guna memperdalam pemahaman.
