Contoh Soal dan Pembahasan Distribusi Peluang
Distribusi peluang adalah salah satu konsep fundamental dalam statistika dan probabilitas. Ini digunakan untuk memahami bagaimana probabilitas terselenggaranya berbagai nilai dari suatu angka acak. Distribusi peluang dapat mengambil banyak bentuk tergantung pada sifat dari data yang sedang dianalisis. Dua jenis distribusi peluang yang paling umum adalah distribusi diskrit dan distribusi kontinu. Dalam artikel ini, kita akan meninjau beberapa contoh soal dan pembahasan distribusi peluang untuk membantu pemahaman lebih mendalam mengenai topik ini.
Distribusi Diskrit
Distribusi diskrit adalah distribusi yang menghitung probabilitas dari variabel acak diskrit, yaitu variabel yang hanya dapat mengambil nilai tertentu. Contoh distribusi diskrit yang terkenal adalah Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson.
Contoh 1: Distribusi Binomial
Distribusi Binomial menggambarkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan Bernoulli. Setiap percobaan Bernoulli memiliki dua hasil: keberhasilan atau kegagalan. Probabilitas keberhasilan tetap konstan sepanjang percobaan.
Soal:
Sebuah perusahaan farmasi sedang menguji obat baru pada 10 pasien. Probabilitas obat tersebut berhasil pada setiap pasien adalah 0.7. Hitunglah probabilitas bahwa obat berhasil pada tepat 7 dari 10 pasien.
Pembahasan:
Variabel acak \(X\) mengikuti distribusi binomial dengan \(n = 10\) dan \(p = 0.7\). Fungsi probabilitas binomial adalah:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Untuk \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Menghitung binomial coefficient \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Menghitung nilai probabilitas:
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \approx 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \approx 0.231 \]
Jadi, probabilitas bahwa obat berhasil pada tepat 7 dari 10 pasien adalah sekitar 0.231 atau 23.1%.
Contoh 2: Distribusi Poisson
Distribusi Poisson digunakan untuk model jumlah kejadian dari suatu peristiwa yang jarang terjadi dalam interval waktu atau ruang yang tertentu.
Soal:
Sebuah toko mendapat rata-rata 4 pelanggan per jam. Berapa probabilitas bahwa toko tersebut akan menerima tepat 5 pelanggan dalam satu jam?
Pembahasan:
Variabel acak \(X\) mengikuti distribusi Poisson dengan parameter \(\lambda = 4\). Fungsi massal probabilitas Poisson adalah:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
Untuk \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Menghitung:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.156 \]
Jadi, probabilitas bahwa toko menerima tepat 5 pelanggan dalam satu jam adalah sekitar 0.156, atau 15.6%.
Distribusi Kontinu
Distribusi kontinu digunakan ketika variabel acak yang diukur bisa mengambil setiap nilai dalam suatu rentang tertentu. Contoh distribusi kontinu yang terkenal adalah Distribusi Normal dan Distribusi Eksponensial.
Contoh 3: Distribusi Normal
Distribusi Normal, sering disebut juga Distribusi Gaussian, adalah distribusi yang umum digunakan dalam berbagai bidang, baik sains, teknik, maupun ekonomi.
Soal:
Tinggi badan pria dewasa di sebuah kota berdistribusi normal dengan mean (rata-rata) 170 cm dan standar deviasi 10 cm. Berapakah probabilitas bahwa seorang pria terpilih secara acak tingginya antara 160 cm dan 180 cm?
Pembahasan:
Kita perlu menghitung z-score untuk 160 cm dan 180 cm. Z-score didefinisikan sebagai:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Untuk \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Untuk \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Sekarang kita perlu melihat nilai probabilitas dari -1 sampai 1 di tabel z. Nilai dari z = -1 sampai z = 1 adalah sekitar 0.6826.
Jadi, probabilitas bahwa seorang pria terpilih secara acak tingginya antara 160 cm dan 180 cm adalah sekitar 0.6826 atau 68.26%.
Contoh 4: Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial digunakan untuk model waktu antara peristiwa di suatu proses Poisson.
Soal:
Rata-rata waktu antara kedatangan dua pelanggan di sebuah toko adalah 15 menit. Berapakah probabilitas bahwa waktu antara dua kedatangan pelanggan kurang dari 10 menit?
Pembahasan:
Distribusi Eksponensial memiliki parameter \(\lambda\) yang merupakan kebalikan dari mean (\(\mu\)). Dengan mean 15 menit:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Fungsi distribusi kumulatif eksponensial adalah:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
Untuk \(x = 10\):
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]
Jadi, probabilitas bahwa waktu antara dua kedatangan pelanggan kurang dari 10 menit adalah sekitar 0.4866 atau 48.66%.
Kesimpulan
Distribusi peluang, baik diskrit maupun kontinu, adalah konsep yang sangat berguna untuk memodelkan dan memahami perilaku variabel acak. Distribusi Binomial dan Poisson sering digunakan untuk variabel diskrit, sementara Distribusi Normal dan Eksponensial adalah contoh distribusi kontinu.
Melalui contoh-contoh soal di atas, diharapkan Anda mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang cara menghitung dan menafsirkan probabilitas dalam distribusi peluang. Dengan latihan yang konsisten, kemampuan dalam memahami distribusi peluang akan meningkat dan dapat diaplikasikan dalam berbagai disiplin ilmu.
