Contoh Soal Pembahasan Konjugat, Modulus, dan Argumen Bilangan Kompleks Beserta Sifat-Sifatnya
Bilangan kompleks merupakan bagian penting dalam matematika, khususnya dalam bidang analisis kompleks. Bilangan kompleks terdiri dari bagian real dan bagian imajiner, biasanya dinyatakan dalam bentuk \( z = a + bi \), dengan \( a \) dan \( b \) sebagai bilangan real dan \( i \) sebagai satuan imajiner yang memenuhi \( i^2 = -1 \). Untuk memahami bilangan kompleks lebih dalam, kita perlu mengenal konsep konjugat, modulus, dan argumen bilangan kompleks serta sifat-sifatnya.
Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari bilangan kompleks \( z = a + bi \) adalah \( \overline{z} = a – bi \). Konjugat bilangan kompleks mengubah tanda bagian imajiner tanpa mengubah tanda bagian realnya.
Sifat-sifat Konjugat
1. \( \overline{\overline{z}} = z \)
– Konjugat dari konjugat suatu bilangan kompleks adalah bilangan kompleks itu sendiri.
2. \( \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \)
– Konjugat dari penjumlahan dua bilangan kompleks adalah penjumlahan dari konjugat masing-masing bilangan kompleks.
3. \( \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \)
– Konjugat dari perkalian dua bilangan kompleks adalah perkalian dari konjugat masing-masing bilangan kompleks.
4. \( \overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \)
– Konjugat dari pembagian dua bilangan kompleks adalah pembagian dari konjugat masing-masing.
Modulus Bilangan Kompleks
Modulus dari bilangan kompleks \( z = a + bi \) adalah panjang atau besar dari vektor yang merepresentasikan \( z \) di bidang kompleks. Modulus dinotasikan dengan \( |z| \) dan dihitung dengan rumus
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Sifat-sifat Modulus
1. \( |z| \geq 0 \)
– Modulus suatu bilangan kompleks selalu tidak negatif.
2. \( |z| = 0 \iff z = 0 \)
– Modulus suatu bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika bilangan kompleks tersebut adalah nol.
3. \( |z \cdot w| = |z| \cdot |w| \)
– Modulus dari perkalian dua bilangan kompleks adalah perkalian dari modulus masing-masing bilangan kompleks.
4. \( \left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|} \), \( w \neq 0 \)
– Modulus dari pembagian dua bilangan kompleks adalah pembagian dari modulus masing-masing.
5. \( |z + w| \leq |z| + |w| \)
– Ketidaksamaan segitiga untuk modulus bilangan kompleks.
Argumen Bilangan Kompleks
Argumen dari bilangan kompleks \( z = a + bi \) adalah sudut yang dibentuk oleh vektor yang merepresentasikan \( z \) terhadap sumbu real positif di bidang kompleks. Argumen dinotasikan dengan \( \arg(z) \) dan biasanya dinyatakan dalam radian.
Sifat-sifat Argumen
1. \( \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \)
– Argumen dari suatu bilangan kompleks yang dipangkatkan adalah hasil perkalian antara pangkat dengan argumen bilangan kompleks tersebut.
2. \( \arg\left(\dfrac{z}{w}\right) = \arg(z) – \arg(w) \)
– Argumen dari pembagian dua bilangan kompleks adalah selisih antara argumen dari pembilang dan penyebut.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Konjugat Bilangan Kompleks
Tentukan konjugat dari bilangan kompleks \( z = 3 + 4i \).
Pembahasan:
Konjugat dari \( z \) adalah \( \overline{z} = 3 – 4i \).
Soal 2: Modulus Bilangan Kompleks
Hitung modulus dari bilangan kompleks \( z = 1 – i \).
Pembahasan:
\[ |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
Soal 3: Argumen Bilangan Kompleks
Tentukan argumen dari bilangan kompleks \( z = -1 + \sqrt{3}i \).
Pembahasan:
Untuk menemukan argumen, kita harus menemukan sudut yang dibentuk oleh \( z \) di bidang kompleks.
Bilangan kompleks \( -1 + \sqrt{3}i \) berada di kuadran II.
\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \pi \]
Kita tahu bahwa \( \tan(\dfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\), sehingga
\[ \arg(z) = \dfrac{2\pi}{3} \]
Soal 4: Perkalian Bilangan Kompleks
Tentukan hasil kali \( z_1 = 2 + 3i \) dan \( z_2 = 1 – i \), serta hitung modulus hasil kali tersebut.
Pembahasan:
\[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 – i) = 2 + 2i – 3i – 3i^2 = 2 – i + 3 = 5 – i \]
Modulus dari \( z_1 \cdot z_2 \):
\[ |5 – i| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
Kesimpulan
Bilangan kompleks adalah konsep yang sangat penting dalam matematika dan teknik. Dengan memahami konjugat, modulus, dan argumen, kita dapat lebih memahami dan memanipulasi bilangan kompleks dengan lebih efektif. Sifat-sifat konjugat, modulus, dan argumen memberikan alat yang kuat untuk analisis lebih lanjut dan aplikasi yang lebih luas dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan. Melalui contoh soal yang telah disajikan, diharapkan pembaca dapat lebih mengerti dan menguasai penggunaan bilangan kompleks dalam berbagai konteks.
