Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri
Transformasi geometri merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang seperti fisika, grafika komputer, dan teknik. Transformasi geometri mencakup berbagai operasi yang mengubah posisi, ukuran, dan orientasi objek dalam ruang. Beberapa jenis transformasi utama meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan yang mendalam terkait transformasi geometri.
1. Translasi
Soal:
Diberikan titik A(2, 3). Lakukan translasi sehingga titik A berpindah ke koordinat baru. Translasi yang dilakukan adalah:
– 5 satuan ke kanan
– 4 satuan ke atas
Pembahasan:
Translasi menggeser titik sejajar dengan sumbu koordinat tertentu tanpa mengubah bentuk dan ukuran dari objek. Translasi titik (x, y) dengan a satuan ke kanan dan b satuan ke atas dapat dinyatakan sebagai (x + a, y + b).
Diketahui titik A(2, 3) akan ditranslasikan:
– 5 satuan ke kanan berarti +5 pada sumbu x
– 4 satuan ke atas berarti +4 pada sumbu y
Koordinat baru titik A adalah:
\[ (2 + 5, 3 + 4) = (7, 7) \]
Jadi, setelah translasi, titik A berada di koordinat (7, 7).
2. Refleksi
Soal:
Pencerminan titik B(4, 5) terhadap sumbu y.
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu y akan mengubah koordinat x dari titik menjadi negatifnya, sedangkan koordinat y tetap sama:
\[ B(x, y) \rightarrow B'(-x, y) \]
Untuk titik B(4, 5), refleksi terhadap sumbu y menghasilkan:
\[ (-4, 5) \]
Jadi, titik B setelah refleksi terhadap sumbu y adalah (-4, 5).
3. Rotasi
Soal:
Lakukan rotasi 90 derajat searah jarum jam pada titik C(1, 2) terhadap titik asal (0, 0).
Pembahasan:
Rotasi 90 derajat searah jarum jam dapat dinyatakan dengan perubahan koordinat sebagai berikut:
\[ (x, y) \rightarrow (y, -x) \]
Untuk titik C(1, 2), setelah rotasi 90 derajat:
\[ (1, 2) \rightarrow (2, -1) \]
Jadi, titik C setelah rotasi 90 derajat searah jarum jam adalah (2, -1).
4. Dilatasi (Skalasi)
Soal:
Titik D(3, 4) didilatasi dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (0, 0).
Pembahasan:
Dilatasi dengan faktor skala k terhadap titik pusat (0, 0) akan mengubah koordinat titik (x, y) menjadi (kx, ky).
Untuk titik D(3, 4) dan faktor skala 2:
\[ (3, 4) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) = (6, 8) \]
Jadi, titik D setelah dilatasi dengan faktor 2 adalah (6, 8).
5. Komposisi Transformasi
Soal:
Titik E(2, 3) awalnya dicerminkan terhadap sumbu x, kemudian hasilnya ditranslasikan 3 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah.
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi terhadap sumbu x mengubah y menjadi negatifnya, sedangkan x tetap sama:
\[ (x, y) \rightarrow (x, -y) \]
Untuk titik E(2, 3):
\[ (2, 3) \rightarrow (2, -3) \]
Langkah 2: Translasi 3 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah
Translasi ini dapat dinyatakan sebagai (x – 3, y – 1).
Untuk titik (2, -3), translasi ini menghasilkan:
\[ (2 – 3, -3 – 1) = (-1, -4) \]
Jadi, titik E setelah refleksi terhadap sumbu x dan translasi adalah (-1, -4).
6. Refleksi Terhadap Garis y = x
Soal:
Titik F(5, 2) dicerminkan terhadap garis y = x.
Pembahasan:
Refleksi terhadap garis y = x akan menukar koordinat x dan y dari titik tersebut:
\[ (x, y) \rightarrow (y, x) \]
Untuk titik F(5, 2):
\[ (5, 2) \rightarrow (2, 5) \]
Jadi, titik F setelah refleksi terhadap garis y = x adalah (2, 5).
7. Transformasi Gabungan
Soal:
Titik G(1, -2) mengalami kombinasi transformasi berikut:
1. Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap pusat (0, 0)
2. Dilatasi dengan faktor skala 3 terhadap pusat (0, 0)
Pembahasan:
Langkah 1: Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam
Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dapat dinyatakan dengan transformasi:
\[ (x, y) \rightarrow (-y, x) \]
Untuk titik G(1, -2):
\[ (1, -2) \rightarrow (2, 1) \]
Langkah 2: Dilatasi dengan faktor skala 3
Dilatasi dengan faktor skala 3 terhadap (0, 0):
\[ (x, y) \rightarrow (3x, 3y) \]
Untuk titik (2, 1):
\[ (2, 1) \rightarrow (6, 3) \]
Jadi, titik G setelah kombinasi transformasi tersebut adalah (6, 3).
Kesimpulan
Transformasi geometri adalah konsep penting yang mencakup translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Melalui beberapa contoh soal dan pembahasan di atas, kita dapat melihat bagaimana setiap jenis transformasi bekerja dan bagaimana mereka dapat digabungkan untuk menghasilkan efek yang lebih kompleks pada objek geometri. Pemahaman yang baik mengenai transformasi geometri akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika dan aplikasinya di berbagai bidang ilmu.
