Contoh Soal Pembahasan Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah salah satu konsep dasar yang sering diajarkan dalam pelajaran matematika baik di tingkat sekolah menengah maupun perguruan tinggi. Menguasai SPL sangat penting karena penerapannya yang luas dalam berbagai bidang ilmu, mulai dari fisika, ekonomi, hingga teknik. Pada artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal sistem persamaan linear beserta langkah-langkah penyelesaiannya. Dalam pembahasan ini, kita akan menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan matriks untuk mempermudah pemahaman.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Metode Substitusi
Soal:
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Penyelesaian:
1. Langkah pertama adalah memecahkan salah satu persamaan untuk salah satu variabel. Sebagai contoh, kita bisa memecahkan persamaan kedua untuk \(x\):
\[ x – 2y = -3 \]
\[ x = 2y – 3 \]
2. Substitusikan \(x = 2y – 3\) ke dalam persamaan pertama:
\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[ 7y = 14 \]
\[ y = 2 \]
3. Sekarang, substitusikan \(y = 2\) ke dalam persamaan \(x = 2y – 3\):
\[ x = 2(2) – 3 \]
\[ x = 4 – 3 \]
\[ x = 1 \]
Jadi, solusi sistem persamaan adalah \( x = 1 \) dan \( y = 2 \).
Contoh Soal 2: Metode Eliminasi
Soal:
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Penyelesaian:
1. Langkah pertama adalah membuat koefisien salah satu variabel sama pada kedua persamaan. Kita bisa mengalikan persamaan kedua dengan 2 untuk menyamakan koefisien \(y\):
\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]
2. Tambahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi \(y\):
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
3. Substitusikan \( x = \frac{30}{13} \) ke dalam persamaan pertama:
\[ 3\left(\frac{30}{13}\right) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
Jadi, solusi sistem persamaan adalah \( x = \frac{30}{13} \) dan \( y = \frac{33}{13} \).
Contoh Soal 3: Metode Matriks (Eliminasi Gauss)
Soal:
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode matriks:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Penyelesaian:
1. Bentuk matriks augmented dari sistem persamaan:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & -1 & 3 & | & 14 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
2. Proses eliminasi Gauss:
– Ubah baris kedua menjadi hasil dari baris kedua dikurangi dua kali baris pertama:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
– Ubah baris ketiga menjadi hasil dari baris ketiga dikurangi empat kali baris pertama:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & -2 & -5 & | & -22
\end{pmatrix} \]
– Ubah baris ketiga menjadi hasil dari baris ketiga ditambah dua per tiga kali baris kedua:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & -4 & | & -20
\end{pmatrix} \]
– Ubah baris ketiga menjadi hasil dari baris ketiga dibagi -4:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Ubah baris kedua menjadi hasil dari baris kedua ditambah baris ketiga:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 0 & | & -3 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Ubah baris kedua menjadi hasil dari baris kedua dibagi -3:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Ubah baris pertama menjadi hasil dari baris pertama dikurangi baris kedua dan baris ketiga:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
Jadi, solusi sistem persamaan adalah \( x = 0 \), \( y = 1 \), dan \( z = 5 \).
Kesimpulan
Memahami metode-metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sangat penting dalam penguasaan matematika. Metode substitusi, eliminasi, dan matriks menawarkan berbagai pendekatan untuk mencari solusi yang tepat. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang kuat, siapa pun dapat menguasai teknik ini dan mengaplikasikannya dalam berbagai konteks. Semoga contoh-contoh yang telah dibahas di artikel ini dapat membantu pembaca lebih memahami dan menguasai sistem persamaan linear.
