Contoh Soal Pembahasan Aplikasi Turunan
Turunan adalah salah satu konsep fundamental dari kalkulus yang memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam bidang ilmu lain, seperti fisika, ekonomi, biologi, dan teknik. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai aplikasi turunan, terutama dalam konteks optimasi dan analisis fungsi.
Pengenalan Aplikasi Turunan
Turunan dari suatu fungsi pada dasarnya memberikan kita informasi mengenai laju perubahan fungsi tersebut terhadap variabel bebasnya. Contoh paling sederhana adalah kecepatan, yang merupakan turunan dari posisi terhadap waktu. Dalam konteks yang lebih luas, turunan dapat digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi, menentukan interval di mana fungsi meningkat atau menurun, dan memberikan informasi tentang sifat dan perilaku grafis dari suatu fungsi.
Contoh Soal 1: Menemukan Nilai Maksimum dan Minimum
Soal:
Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).
Pembahasan:
1. Mencari turunan pertama:
Untuk menemukan titik-titik kritis, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Menyelesaikan persamaan:
Kita faktorkan persamaan tersebut:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Oleh karena itu, kita mendapatkan titik kritis di \( x = 0 \) dan \( x = 2 \).
3. Menganalisis turunan kedua:
Untuk menentukan apakah titik-titik kritis tersebut merupakan maksimum atau minimum, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Evaluasi pada titik-titik kritis:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{negatif, jadi\ } x = 0 \text{\ adalah maksimum lokal})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{positif, jadi\ } x = 2 \text{\ adalah minimum lokal})
\]
4. Menghitung nilai maksimum dan minimum:
Substitusikan titik-titik kritis ke dalam fungsi asal:
\[
f(0) = 0^3 – 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 \, (\text{maksimum})
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 \, (\text{minimum})
\]
Jadi, fungsi \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) memiliki maksimum lokal di \( (0, 4) \) dan minimum lokal di \( (2, 0) \).
Contoh Soal 2: Optimasi dengan Kendala
Soal:
Seorang petani ingin membuat kandang dengan bentuk persegi panjang yang berbatasan dengan sungai. Dengan ketersediaan pagar sepanjang 100 meter, tentukan dimensi kandang sehingga luasnya maksimal.
Pembahasan:
1. Menyusun persamaan:
Misalkan panjang kandang sejajar sungai adalah \( x \) meter dan lebar \( y \) meter. Karena salah satu sisi berbatasan dengan sungai, pagar yang dibutuhkan adalah untuk tiga sisi.
\[
2y + x = 100
\]
2. Menemukan luas maksimum:
Luas kandang \( A \) adalah:
\[
A = x \cdot y
\]
Dari persamaan pagar, kita dapat menyatakan \( y \) dalam \( x \):
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
Maka, persamaan untuk luas menjadi:
\[
A(x) = x \cdot \frac{100 – x}{2} = 50x – \frac{x^2}{2}
\]
3. Mencari turunan pertama:
Untuk menemukan nilai maksimum, kita cari turunan pertama dari \( A(x) \):
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Menyamakan dengan nol:
\[
50 – x = 0 \implies x = 50
\]
4. Menghitung nilai \( y \):
Substitusikan \( x = 50 \) ke dalam persamaan:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
Jadi, dimensi kandang yang memberikan luas maksimum adalah 50 meter untuk panjang dan 25 meter untuk lebar.
Contoh Soal 3: Menentukan Kecepatan Maksimal
Soal:
Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan posisi yang dinyatakan sebagai fungsi waktu \( s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1 \). Tentukan kecepatan maksimal partikel tersebut.
Pembahasan:
1. Menentukan kecepatan (turunan posisi):
Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Menentukan turunan kedua:
Untuk menemukan titik-titik maksimal, kita cari turunan kedua:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Menemukan titik kritis:
Menyamakan turunan pertama dari kecepatan dengan nol:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Membagi dengan 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Memfaktorkan:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Jadi, titik kritis adalah \( t = 1 \) dan \( t = 3 \).
4. Menganalisis percepatan untuk mengetahui maksimal:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \implies t = 1 \text{\ adalah maksimum lokal}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \implies t = 3 \text{\ adalah minimum lokal}
\]
5. Menghitung kecepatan maksimum:
Substitusi \( t = 1 \) ke dalam persamaan kecepatan:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{bukan menarik})
\]
Periksa batas lain atau titik interval yang relevan untuk memastikan solusi terbaik.
Dengan langkah-langkah tersebut, kita dapat menyusun pola penyelesaian berbasis turunan untuk berbagai masalah aplikasi di atas.
Kesimpulan
Contoh-contoh soal di atas memperlihatkan bagaimana turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai konteks. Menemukan nilai maksimum dan minimum, optimasi dengan kendala, serta analisis gerak hanyalah beberapa aplikasi dari konsep turunan. Penguasaan terhadap teknik dan metode ini sangat penting bagi mereka yang belajar matematik tingkat lanjut dan disiplin ilmu terkait.
