Dinàmica dels moviments de rotació: problemes i solucions

1. Una politja amb un moment d'inèrcia I = 2/5 MR₂ ^té una massa de 2 kg. Si el moment de força sobre la politja és de 4 Nm, quina és l'acceleració lineal de la politja? L'acceleració deguda a la gravetat és g = 10 ^ms⁻².

Conegut : Dinàmica dels moviments de rotació: problemes i solucions 1

El moment d'inèrcia de la politja (I) = 2/5 ^MR²

Massa de la politja (M) = 2 kg

Moment de força (τ) = 4 Nm

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms ^-2

Radi de la politja (R) = 20 cm = 0.2 m

Es busca: L'acceleració lineal (a)

Solució:

El moment d'inèrcia de la politja (I):

I = 2/5 MR2 ⁼ 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg ^m2

L' acceleració angular (α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

L'acceleració lineal (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

L'acceleració lineal de la vora de la politja és de 25 ms ^-2.

2. L'acceleració de la politja és de 2 ms ^-2 . L'acceleració deguda a la gravetat és g = 10 ms ^-2 . Quin és el moment d'inèrcia de la politja?

Conegut:

L'acceleració lineal de la vora de la politja (a) = 2 ms^-2

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms ^-2

Radi de la politja (R) = 10 cm = 0.1 m

Pes de l'objecte (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Es busca: El moment d'inèrcia de la politja

Vegeu també Col·lisió i conservació de l'energia mecànica: sondes i solucions

Solució:

El moment de força (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

L'acceleració angular de la politja (α):

a = Rα

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

El moment d'inèrcia de la politja (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. La politja va accelerar a 1 ms ^-2 . Si el radi de la politja és de 10 cm, quin és el moment d'inèrcia de la politja?

Conegut:

L'acceleració lineal de la vora de la politja (a) = 1 ms^-2

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms ^-2

Radi de la politja (R) = 10 cm = 0.1 m

Força (F) = 4 N

Es busca: El moment d'inèrcia de la politja

Solució:

El moment de força (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

L'acceleració angular de la politja (α):

a = Rα

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

El moment d'inèrcia de la politja (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

Quin és l'equivalent rotacional de la massa en moviment lineal?
- Resposta: L'equivalent rotacional de la massa en moviment lineal és el moment d'inèrcia, sovint denotat com $I$ .
Com es relaciona el parell motor amb el moviment de rotació i com es compara amb la força en el moviment lineal?
- Resposta: El parell de gir és l'equivalent rotacional de la força. Mentre que la força provoca una acceleració lineal en els objectes, el parell de gir provoca una acceleració angular en els cossos en rotació. El parell de gir es calcula com el producte de la força aplicada i la distància perpendicular des de l'eix de rotació fins al punt d'aplicació de la força.
Quina és la relació entre l'acceleració angular, el parell motor i el moment d'inèrcia?
- Resposta: La relació ve donada per la segona llei de Newton per a la rotació: $τ = I α$ , On $τ$ és el parell de torsió, $I$ és el moment d'inèrcia, i $α$ és l'acceleració angular.
Si el moment d'inèrcia d'un objecte en rotació augmenta mentre el parell extern roman constant, què passa amb l'acceleració angular?
- Resposta: Si el moment d'inèrcia augmenta i el parell extern roman constant, l'acceleració angular disminuirà.
En què són anàlegs els conceptes de moment lineal i moment angular en el moviment lineal i de rotació?
- Resposta: Moment lineal (donat per $p = m v$ , On $m$ és massa i $v$ és la velocitat) és el producte de la massa i la velocitat lineal, mentre que el moment angular (donat per $L = I ω$ , On $I$ és el moment d'inèrcia i $ω$ és la velocitat angular) és el producte del moment d'inèrcia i la velocitat angular.
Què s'entén per conservació del moment angular?
- Resposta: La conservació del moment angular estableix que, en absència de parells de forces externs, el moment angular total d'un sistema tancat roman constant.
Per què els patinadors artístics giren més ràpid quan fiquen els braços cap a dins durant un gir?
- Resposta: Quan els patinadors artístics fiquen els braços cap enrere, disminueixen el seu moment d'inèrcia. A causa de la conservació del moment angular, quan el moment d'inèrcia disminueix, la velocitat angular (o taxa de gir) ha d'augmentar per mantenir constant el moment angular.
Com es compara l'energia cinètica rotacional d'un objecte amb la seva energia cinètica lineal?
- Resposta: L'energia cinètica rotacional (donada per 1/2 $I ω^{2}$ ) és anàloga a l'energia cinètica lineal (donada per 1/2 $m v^{2}$ ). El primer està associat amb la rotació d'un objecte i el segon amb el seu moviment lineal.
Pot un objecte tenir energia cinètica rotacional i lineal simultàniament?
- Resposta: Sí, un objecte pot tenir energia cinètica rotacional i lineal. Per exemple, una roda que gira té energia cinètica rotacional a causa del seu gir i energia cinètica lineal a causa del seu moviment cap endavant.
Si el radi d'una roda que gira es duplica mentre manté la seva velocitat angular constant, com canvia el seu moment d'inèrcia?

Resposta: El moment d'inèrcia d'un disc sòlid ve donat per 1/2 $m r^{2}$ , On $m$ és la massa i $r$ és el radi. Si el radi es duplica i la massa roman constant, el moment d'inèrcia augmentarà per un factor de quatre.