Moment d'inèrcia de partícules i cossos rígids: problemes i solucions

El moment d'inèrcia de la partícula

1. Una pilota de 100 grams connectada a un extrem d'una corda de 30 cm de longitud. Quin és el moment d'inèrcia de la pilota al voltant de l'eix de rotació AB? Ignoreu la massa de la corda.

Conegut:

L'eix de rotació a AB

Massa de la bola (m) = 100 grams = 100/1000 = 0.1 kg

La distància entre la pilota i l'eix de rotació (r) = 30 cm = 0.3 m

Es busca: Moment d'inèrcia de la pilota (I)

Solució:

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m²) ^²

I = (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m²

[irp]

_{2. Una pilota de} 100 grams, m1 , i una pilota _de 200 grams, m2 , connectades per una vareta amb una longitud de 60 cm. Es ignora la massa de la vareta. L'eix de rotació es troba al centre de la vareta. Quin és el moment d'inèrcia de la pilota al voltant de l'eix de rotació?

Conegut:

Massa de la bola 1 (m1 ₎ = 100 grams = 100/1000 = 0.1 kg

La distància de la bola 1 i l'eix de rotació (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Massa de la pilota (m² ₎ = 200 grams = 200/1000 = 0.2 kg

La distància de la bola 2 i l'eix de rotació (r2 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Es busca: moment d'inèrcia de les boles

Resposta:

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.2 kg)( 0.3 m) ^²

I = (0.1 kg) ( 0.09 m² ⁾ + (0.2 kg) ( 0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m² + 0.018 kg ^m²

I = 0.027 kg ^m²

[irp]

3. Una pilota de 200 grams, m1 _{, i una pilota de} 100 grams, m2 _, connectades per una vareta amb una longitud de 60 cm. Ignoreu la massa de la vareta. L'eix de rotació es troba a la pilota m2 . Quin és el moment d'inèrcia de les boles? Ignoreu la massa de la vareta.

Conegut:

Massa de la bola 1 (m1 ₎ = 200 grams = 200/1000 = 0.2 kg

La distància entre la bola 1 i l'eix de rotació (r1 ₎ = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Massa de la pilota 2 (m2 ₎ = 100 grams = 100/1000 = 0.1 kg

La distància entre la bola 2 i l'eix de rotació (r2 ₎ = 0 m

Es busca: Moment d'inèrcia de les boles

Solució:

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ^² + (0.2 kg)(0 ) ^²

I = (0.2 kg) ( 0.36 ^m² ) + 0

I = 0.072 kg ^m²

[irp]

4. La massa de cada pilota és de 100 grams, connectada per una corda. La longitud de la corda és de 60 cm i l'amplada de la corda és de 30 cm. Quin és el moment d'inèrcia de la pilota al voltant de l'eix de rotació? Ignoreu la massa de la corda.

Conegut:

Massa de la pilota = m1 ₌ m2 ₌ m3 ₌ m4 ₌ 100 grams = 100/1000 = 0.1 kg

La distància entre la pilota i l'eix de rotació (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

La distància entre la bola 2 i l'eix de rotació (r2 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

La distància entre la bola 3 i l'eix de rotació (r3 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

La distància entre la bola 4 i l'eix de rotació (r4 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Conegut: Moment d'inèrcia

Solució:

Jo = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)(0.3 m) ^² + (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)( 0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.036 kg ^m²

[irp]

El moment d'inèrcia d'un objecte rígid

5. Quin és el moment d'inèrcia d'una vareta uniforme de 2 kg de llargada i 2 m de longitud? L'eix de rotació es troba al centre de la vareta.

Conegut:

Massa de la vareta (M) = 2 kg

La longitud de la vareta (L) = 2 m

Es busca: Moment d'inèrcia

Solució:

La fórmula del moment d'inèrcia quan l'eix de rotació es troba al centre de la vareta uniforme llarga:

I = (1/12) ^ML2

I = (1/12) (2 kg) ( 2 m) ²

I = (1/12) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/12)(8 kg ^m² )

I = 8/12 kg ^m²

I = 2/3 kg ^m²

[irp]

6. Quin és el moment d'inèrcia d'una vareta uniforme de 2 kg de llargada i 2 m de longitud? L'eix de rotació es troba en un extrem de la vareta.

Conegut:

Massa de la vareta (M) = 2 kg

La longitud de la vareta rígida (L) = 2 m

Es busca: Moment d'inèrcia

Solució:

La fórmula del moment d'inèrcia quan l'eix de rotació es troba en un extrem de la vareta:

I = (1/3) ^ML2

I = (1/3) (2 kg) ( 2 m) ²

I = (1/3) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/3)(8 kg ^m² )

I = 8/3 kg ^m²

[irp]

7. Un cilindre sòlid de 10 kg amb un radi de 0.1 m. L'eix de rotació es troba al centre del cilindre sòlid, com es mostra a la figura següent. Quin és el moment d'inèrcia del cilindre?

Conegut:

Massa del cilindre sòlid (M) = 10 kg

Radi del cilindre (L) = 0.1 m

Es busca: El moment d'inèrcia

Es busca: El moment d'inèrcia

Solució:

La fórmula del moment d'inèrcia quan l'eix de rotació es troba al centre del cilindre:

I = (1/2) ^MR2

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ^²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 ^m² )

I = (1/2)(0.1 kg ^m² )

I = 0.05 kg ^m²

8. Una esfera uniforme de 20 kg amb una longitud de 0.1 m. L'eix de rotació situat al centre de l'esfera es mostra a la figura següent.

Conegut:

Massa de l'esfera (M) = 20 kg

El radi de l'esfera (L) = 0.1 m

Es busca: un moment d'inèrcia

Solució:

La fórmula del moment d'inèrcia quan l'eix de rotació es troba al centre de l'esfera:

I = (2/5) ^MR2

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ^²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 ^m² )

I = (2/5)(0.2 kg ^m² )

I = 0.4/5 kg ^m²

I = 0.08 kg ^m²

[irp]

9. Una placa rectangular prima de 2 kg amb una longitud de 0.5 m i una amplada de 0.2 m. L'eix de rotació es troba al centre de la placa rectangular que es mostra a la figura següent. Quin és el moment d'inèrcia del rectangle?

Conegut:

Massa de la placa rectangular (M) = 2 kg

La longitud de la placa (a) = 0.5 m

L'amplada de la placa (b) = 0.2 m

Es busca: Moment d'inèrcia

Solució:

Fórmula del moment d'inèrcia quan l'eix de rotació es troba al centre de la placa:

I = (1/12 ) M ( ^a² + ^b² )

I = (1/12)(2)( ^0.5² + ^0.2² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg ^m²