Àwọn Ànímọ́ Àwọn Iṣẹ́ Ìtọ́kasí
Àtúnṣe iṣẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò tí ó ń wọn ìwọ̀n ìyípadà iṣẹ́ kan ní àkókò kan pàtó. Àwọn àtúnṣe iṣẹ́ náà ń fúnni ní òye pàtàkì nípa ìwà àti àwọn ànímọ́ iṣẹ́, títí kan ìtẹ̀sí àwọn iye iṣẹ́ kan láti mú tàbí dínkù, àwọn àmì ìyípadà, àti àwọn ìwífún pàtàkì mìíràn. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò onírúurú ànímọ́ ti àtúnṣe iṣẹ́ kan àti àwọn ìlò rẹ̀ ní onírúurú ipò.
1. Ìtumọ̀ Àbájáde
Àtúnṣe iṣẹ́ kan \( f \) ní ojú kan \( x \) ni ààlà ìyípadà iṣẹ́ náà \( f \) ní ìbámu pẹ̀lú ìyípadà oníyípadà \( x \) bí ìyípadà náà ṣe ń súnmọ́ òdo. Ní ti ìṣirò, àtúnṣe iṣẹ́ náà \( f \) ní ojú kan \( x \), tí a tọ́ka sí gẹ́gẹ́ bí \( f'(x) \) tàbí \( \frac{df}{dx} \), ni a túmọ̀ gẹ́gẹ́ bí:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]
Àtúnṣe yìí ṣàlàyé bí iṣẹ́ \( f \) ṣe yípadà pẹ̀lú àwọn àyípadà kékeré nínú \( x \).
2. Àwọn Òfin Ìpìlẹ̀ ti Ìyàtọ̀
Àwọn òfin pàtàkì kan wà tó wúlò gan-an nínú ìyàtọ̀. Àwọn wọ̀nyí ni díẹ̀ lára wọn:
a. Ofin Ti o duro nigbagbogbo
Tí \( c \) bá jẹ́ ohun tí ó dúró ṣinṣin, nígbà náà, àbájáde \( c \) jẹ́ òdo.
\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]
b. Àwọn Òfin Ìdámọ̀
Àtúnṣe ti \( x \) ni 1.
\[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]
c. Àwọn Òfin Ipò
Tí \( n \) bá jẹ́ nọ́mbà gidi, nígbà náà àbájáde ti \( x^n \) ni:
\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \]
d. Iṣẹ́ Àkókò Òfin Tí Ó Dára Déédé
Tí \( c \) bá jẹ́ ohun tí ó dúró ṣinṣin, nígbà náà àbájáde ti \( cf(x) \) ni:
\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) \]
e. Àwọn Òfin Àfikún
Àròpọ̀ àròpọ̀ iṣẹ́ méjì ni àròpọ̀ àwọn àròpọ̀ iṣẹ́ kọ̀ọ̀kan.
\[ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \]
f. Àwọn Òfin Ìsọdipúpọ̀
Àbájáde ìṣẹ̀dá iṣẹ́ méjì \(f \) àti \(g \) ni a fi hàn nípasẹ̀:
\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]
g. Àwọn Òfin Pínpín
Àbájáde ìpínpín àwọn iṣẹ́ méjì \(f \) àti \( g \) ni a fún nípasẹ̀:
\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]
h. Òfin Ẹ̀wọ̀n
Tí iṣẹ́ kan bá jẹ́ àkójọpọ̀ iṣẹ́ méjì, èyí ni \( y = f(g(x)) \), nígbà náà ni a ó fi ìlànà ẹ̀wọ̀n fún ìtọ́kasí rẹ̀:
\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
3. Àwọn Ohun Èlò Tí A Gbà
a. Ìtẹ̀síwájú àti Ìdúróṣinṣin
Tí iṣẹ́ kan \( f \) bá ní àtúnṣe ní ojú kan \( a \), nígbà náà iṣẹ́ náà gbọ́dọ̀ jẹ́ èyí tí ó ń tẹ̀síwájú ní ojú kan náà. Síbẹ̀síbẹ̀, ìtẹ̀síwájú iṣẹ́ kan ní ojú kan kò ṣe ìdánilójú pé iṣẹ́ náà ní àtúnṣe ní ojú kan náà. Fún àpẹẹrẹ, iṣẹ́ àṣeyọrí absolute value \( f(x) = |x| \) jẹ́ èyí tí ó ń tẹ̀síwájú ní ojú kan náà \( x = 0 \), ṣùgbọ́n kò ní àtúnṣe ní ojú kan náà.
b. Àwọn Ìtọ́kasí Kejì àti Gíga
Nípa ṣíṣe ìyàtọ̀ tí a ń ṣe leralera, a lè gba ìyàtọ̀ kejì \( f”(x) \), ìyàtọ̀ kẹta \( f”'(x) \), àti bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ. Ìyàtọ̀ kejì pèsè ìwífún nípa ìkọ́pọ̀ ti àwòrán iṣẹ́ náà. Tí ìyàtọ̀ kejì bá jẹ́ rere, àwòrán iṣẹ́ náà jẹ́ kọ́ńkánná sí òkè, tí ó bá sì jẹ́ òdì, àwòrán iṣẹ́ náà jẹ́ kọ́ńkánná sí ìsàlẹ̀.
c. Àkójọpọ̀ Àkíyèsí
Àkójọ pàtàkì iṣẹ́ kan \( f \) ni ibi tí àkójọ àkọ́kọ́ \( f'(x) \) jẹ́ òdo tàbí kò sí. Àkójọ pàtàkì kan lè jẹ́ ibi tí ó dúró (o kere ju ti àdúgbò, o pọju ti àdúgbò, tàbí ibi tí a ti ń gùn ẹṣin). A tún lo àtúpalẹ̀ síwájú pẹ̀lú ìdánwò àkójọ kejì tàbí ìdánwò àkójọ àkọ́kọ́ láti pín irú àkójọ pàtàkì náà sí.
d. Oṣuwọn Iyipada
A le lo itọsẹ ti iṣẹ kan lati pinnu oṣuwọn iyipada ti iṣẹlẹ kan. Ninu fisiksi, itọsẹ ti ipo ni ibatan si akoko funni ni iyara, ati itọsẹ ti iyara ni ibatan si akoko funni ni iyara. Ninu eto-ọrọ aje, itọsẹ ti iṣẹ idiyele lapapọ ni ibatan si iṣelọpọ funni ni idiyele alapin.
e. Mu awọn iṣẹ pọ si ati dinku
Tí \( f'(x) > 0 \) bá wà lórí àlàfo kan, nígbà náà \( f \) ń pọ̀ sí i lórí àlàfo yẹn. Ní ọ̀nà mìíràn, tí \( f'(x) < 0 \), nígbà náà \( f \) ń dínkù ní àlàfo yẹn. Èyí wúlò gan-an nínú ìṣàyẹ̀wò iṣẹ́ láti pinnu ìwà iṣẹ́ kan lórí onírúurú àlàfo ti agbègbè rẹ̀. 4. Àwọn Ìlò Àwọn Ìtọ́kasí ní Oríṣiríṣi Àwọn Èèpo a. Ètò Ọrọ̀ Ajé Nínú ètò ọrọ̀ ajé, a ń lo àwọn ìtọ́kasí láti ṣàyẹ̀wò ìyàsọ́tọ̀. Fún àpẹẹrẹ, iye owó àlàfo, èyí tí ó jẹ́ ìtọ́kasí ti iṣẹ́ iye owó gbogbo nípa iye iṣẹ́ tí a ṣe. Èyí ń ran lọ́wọ́ láti mọ iye owó afikún ti ṣíṣe ẹ̀yọ kan afikún ti ọjà kan. \[ \text{Iye owó àlàfo} = \frac{d}{dQ}[\text{Iye owó gbogbo}] \] b. Ètò Ọgbọ́n Nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ, a ń lo àwọn ìtọ́kasí láti pinnu ìwọ̀n ìyípadà nínú ètò ti ara, bíi iyàrá àti ìyára nínú ìṣípo ẹ̀rọ, tàbí ìyípadà ìwọ̀n otútù nínú ìlànà ooru. c. Ìmọ̀ Ìjìnlẹ̀ Dátà àti Ẹ̀kọ́ Ẹ̀rọ Nínú ìmọ̀ ìjìnlẹ̀ dátà àti ẹ̀kọ́ ẹ̀rọ, àwọn gradients — èyí tí ó jẹ́ vectors of partial derivatives — ni a lò nínú àwọn algoridimu optimization láti dín àdánù tàbí iṣẹ́ iye owó kù. Algoridimu gradient descent, fún àpẹẹrẹ, gbára lé àwọn derivatives iširo láti wá àwọn paramita tó dára jùlọ nínú àwọn àpẹẹrẹ ẹ̀kọ́ ẹ̀rọ. d. Fisiksi Nínú fisiksi, a lo àwọn derivatives láti ṣàpèjúwe onírúurú ìṣẹ̀lẹ̀ àdánidá. Fún àpẹẹrẹ, àwọn òfin Newton ti Motion, lo àwọn derivatives láti pinnu ìbáṣepọ̀ láàrín agbára, ibi-iwọ̀n, àti ìyára. \[ F = ma \quad \text{with} \quad a = \frac{dv}{dt} \] e. Ìnáwó Nínú ìṣúná owó, a lo àwọn derivatives láti pinnu ìmọ̀lára iye owó àṣàyàn tàbí ohun èlò ìṣúná owó mìíràn sí àwọn ìyípadà nínú onírúurú àwọn oniyipada, tí a mọ̀ sí "àwọn ará Giriki." Ìparí Ìyàtọ̀ iṣẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì àti gbígbòòrò nínú calculus pẹ̀lú àwọn ohun èlò tó gbòòrò ní gbogbo ẹ̀ka ìmọ̀ ìjìnlẹ̀. Láti àwọn ìpìlẹ̀ ti àwọn idogba ìyàtọ̀ sí àwọn ohun èlò tó gbọ́n nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ, ètò ọrọ̀ ajé, àti ìmọ̀ ìjìnlẹ̀ dátà, òye àwọn ohun-ìní àwọn derivatives ṣe pàtàkì fún ìṣàyẹ̀wò pípéye àti yíyanjú ìṣòro káàkiri onírúurú ẹ̀ka ẹ̀kọ́. Gẹ́gẹ́ bí irinṣẹ́ ìwádìí, àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe yìí ń jẹ́ kí a ṣe àpẹẹrẹ, ṣàwárí, àti mú kí àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ tó díjú pọ̀ sí i ní ayé gidi.
