Kíkọ Ìtọ́kasí Iṣẹ́ kan
Pendahuluan
Nínú ìmọ̀ ìṣirò, pàápàá jùlọ kálúkúlùsì, àbájáde jẹ́ èrò pàtàkì kan tí ó ń kó ipa pàtàkì nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò. A kìí ṣe nínú ìmọ̀ ìṣirò ìmọ̀ nìkan ni a ń lò àwọn àbájáde, ṣùgbọ́n a tún ń lò wọ́n nínú ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì, ìmọ̀ ẹ̀rọ, ọrọ̀ ajé, àti ọ̀pọ̀lọpọ̀ ẹ̀ka mìíràn. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò àbájáde iṣẹ́ kan ní kíkún, yóò sì bo àwọn ìpìlẹ̀ rẹ̀, àwọn òfin pàtàkì, àti àwọn àpẹẹrẹ ìlò rẹ̀.
Àwọn Ìpìlẹ̀ Àwọn Ìtọ́kasí
Ìtumọ̀ Àwọn Ìtọ́kasí
Àtúnṣe iṣẹ́ kan ṣàlàyé ìwọ̀n ìyípadà iṣẹ́ náà ní ìbámu pẹ̀lú oníyípadà aláìdádúró rẹ̀. Ní òye, a lè túmọ̀ àtúnṣe náà gẹ́gẹ́ bí ìtẹ̀sí ìlà tangent tí ó kan àwòrán iṣẹ́ náà ní ojú kan.
Tí \( y = f(x) \), nígbà náà, àtúnṣe àkọ́kọ́ ti \( f \) ní ìbámu pẹ̀lú \( x \) ni a fi \( f'(x) \) tàbí \( \frac{dy}{dx} \) ṣe àfihàn rẹ̀. Ìtumọ̀ tí a gbé kalẹ̀ fún àtúnṣe náà ni a fi ààlà yìí fún:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Àkíyèsí Ìtọ́kasí
Ọ̀pọ̀lọpọ̀ àkọsílẹ̀ ló wà tí a sábà máa ń lò nínú kíkọ àwọn ohun tí a kọ sílẹ̀:
1. Àmì Leibniz: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Àmì Lagrange: \( f'(x) \)
3. Àmì Newton: \( y' \)
4. Àmì Euler: \( Df(x) \)
Àkọsílẹ̀ kọ̀ọ̀kan ní àwọn lílò pàtó àti àwọn àyíká tí a ti ń lò wọ́n jù.
Awọn Ofin Ipilẹ ni Iyatọ
Àwọn Òfin Àfikún àti Ìyọkúrò
Tí \( f(x) \) àti \( g(x) \) bá jẹ́ iṣẹ́ méjì tó lè yàtọ̀, nígbà náà:
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Àwọn Òfin Ìsọdipúpọ̀
Fún iṣẹ́ méjì \( u(x) \) àti \( v(x) \):
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Àwọn Òfin Pínpín
Tí \( u(x) \) àti \( v(x) \) bá jẹ́ iṣẹ́ méjì, àti \( v(x) \neq 0 \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Òfin Ẹ̀wọ̀n
Fún ìṣètò àwọn iṣẹ́ méjì \( f(u) \) àti \( u(g) \):
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Àwọn Àpẹẹrẹ Ìlò
Àwọn Ìyọrísí Àwọn Iṣẹ́ Polynomial
Ká sọ pé \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Láti rí àbájáde iṣẹ́ yìí, a lo àwọn òfin ìpìlẹ̀ ti ìyàtọ̀.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Àwọn Ìyọrísí Àwọn Iṣẹ́ Onípele-ìpele àti Logarithmic
Tí \( f(x) = e^x \), nígbà náà, àbájáde iṣẹ́ exponential ni:
\[ f'(x) = e^x \]
Fún iṣẹ́ logarithm àdánidá \( f(x) = \ln(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]
Àwọn Ìyọrísí Àwọn Iṣẹ́ Trigonometric
Fun awọn iṣẹ trigonometric ipilẹ:
– Tí \( f(x) = \sin(x) \), nígbà náà \( f'(x) = \cos(x) \)
– Tí \( f(x) = \cos(x) \), nígbà náà \( f'(x) = -\sin(x) \)
– Tí \( f(x) = \tan(x) \), nígbà náà \( f'(x) = \sec^2(x) \)
Ìṣẹ̀dá Iṣẹ́ Àpapọ̀
Ká sọ pé \( f(x) = \sin(2x) \). A lè lo òfin ẹ̀wọ̀n náà:
\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Àwọn Ìtọ́kasí Tó Tẹ̀síwájú
Àwọn Ìtọ́kasí Kejì àti Tó Kẹ́yìn
Àtúnṣe kejì ni àtúnṣe iṣẹ́ àtúnṣe àkọ́kọ́. Tí \( y = f(x) \) bá jẹ́ àtúnṣe kejì, a máa fi \( f”(x) \) tàbí \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ṣe àmì rẹ̀. Àti bẹ́ẹ̀ lọ fún àtúnṣe kẹta \( f”'(x) \) tàbí \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Ká sọ pé \( f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[ f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[ f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Àwọn Ìlò Àwọn Ìtọ́kasí Nínú Físíìsì
Nínú ìmọ̀ fisiksi, a sábà máa ń lo àwọn ohun tí a fi ń ṣe àtúnṣe láti pinnu iyàrá àti iyàrá. Ká sọ pé \( s(t) \) jẹ́ iṣẹ́ ipò ní ìbámu pẹ̀lú àkókò \( t \). Iyàrá \( v(t) \) ni ìtọ́kasí àkọ́kọ́ ti ipò:
\[ v(t) = s'(t) \]
Ìyárasí \( a(t) \) ni ìyọrísí àkọ́kọ́ ti ìyọrísí tàbí ìyọrísí kejì ti ipò:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Ipari
Àtúnṣe iṣẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò pẹ̀lú àwọn ìlò tó gbòòrò káàkiri onírúurú ẹ̀ka. Òye tó jinlẹ̀ nípa àtúnṣe gẹ́gẹ́ bí ìsàlẹ̀ ìlà tangent fúnni ní òye pàtàkì nípa àwọn ànímọ́ àti ìṣe iṣẹ́ kan. Lílóye àti níní agbára láti lo àwọn òfin ìyàtọ̀ bíi òfin ẹ̀wọ̀n, òfin ọjà, àti òfin ìpínyà ṣe pàtàkì fún ẹnikẹ́ni tó bá ń kẹ́kọ̀ọ́ ìṣirò. Nípasẹ̀ àwọn àpẹẹrẹ àti ìlò tó rọrùn nínú ìmọ̀ fisiksi, àpilẹ̀kọ yìí nírètí láti fúnni ní òye pípéye nípa kíkọ àtúnṣe iṣẹ́ kan.
