Ọ̀nà Trapezoidal nínú Integrals
Nínú ìmọ̀ ìṣirò tí a lò, a sábà máa ń rí ìṣòro ṣíṣírò agbègbè lábẹ́ ìlà kan. Ní ti ìmọ̀, a lè yanjú èyí nípa lílo àwọn ìṣọ̀kan pàtó. Síbẹ̀síbẹ̀, ní ìṣe, kìí ṣe gbogbo iṣẹ́ ni a lè so pọ̀ ní ọ̀nà ìṣàyẹ̀wò. Àwọn iṣẹ́ kan jẹ́ dídíjú, dátà wà ní ìrísí tábùlì nìkan, tàbí àwọn àpẹẹrẹ kò ní àwọn ìdènà tí ó rọrùn. Nínú àwọn ipò bí ìwọ̀nyí, àwọn ọ̀nà nọ́mbà di pàtàkì. Ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà nọ́mbà tí a mọ̀ jùlọ tí a sì sábà máa ń lò ni òfin trapezoidal, ọ̀nà ìsúnmọ́ fún àwọn ìṣọ̀kan tí ó pín agbègbè lábẹ́ ìlà sí àwọn ìrísí trapezoidal.
Ìpìlẹ̀ Ẹ̀kọ́ Àpapọ̀ Tó Pàtàkì
Ní ti gíómẹ́trìkì, a lè lóye ìṣọ̀kan pàtó \(\int_a^bf(x)\,dx\) gẹ́gẹ́ bí agbègbè tí ìlà \(y=f(x)\), axis \(x\) pààlà sí, àti àwọn ìlà inaro \(x=a\) àti \(x=b\). Tí \(f(x)\ge 0\), ìṣọ̀kan náà jẹ́ agbègbè rere. Tí iṣẹ́ náà bá ní àwọn ìwọ̀n odi lórí ààrín kan, ìṣọ̀kan náà fúnni ní "agbègbè tí a fọwọ́ sí".
Iṣoro akọkọ waye nigbati:
1. Iṣẹ́ náà \(f(x)\) kò ní antiderivative tí a lè fi hàn nípasẹ̀ àwọn iṣẹ́ àkọ́kọ́.
2. Iye \(f(x)\) ni a mọ ni awọn aaye kan nikan (data idanwo).
3. Iṣiro aami ko munadoko tabi ko ṣeeṣe.
Ibí ni a ti lo ọna trapezoidal lati ṣe isunmọ iye apapọ nipa lilo awọn iye iṣẹ ni awọn aaye kan.
Ìmọ̀ràn Ọ̀nà Trapezoidal
Ọ̀nà trapezoidal bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú èrò tó rọrùn: ìfọ́mọ́ ìlà kan pẹ̀lú ìlà tó tọ́ ní gbogbo ìlà tó wà ní àárín gbùngbùn. Bó tilẹ̀ jẹ́ pé ọ̀nà Riemann sum ń lo àwọn ẹ̀gbẹ́ tó dúró ní ìlà àti agbègbè onígun mẹ́rin, ọ̀nà trapezoidal ń lo àwọn ìpẹ̀kun méjì lórí ìlà tó wà ní àárín gbùngbùn, ó sì so wọ́n pọ̀ mọ́ ìlà tó tọ́. Agbègbè tó wà lábẹ́ ìlà tó tọ́ náà ń ṣe trapezoidal, kì í ṣe onígun mẹ́rin.
Ká sọ pé a fẹ́ ṣe ìṣirò:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
A pín àlàfo \([a,b]\) sí àwọn àlàfo \(n\) tí gígùn wọn dọ́gba. Gígùn àlàfo kọ̀ọ̀kan ni:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Àwọn ojú ìwòye pípín:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\dots,\;x_n=b
\]
Pẹlu awọn iye iṣẹ:
\[
f(x_0), f(x_1), \dots, f(x_n)
\]
Ní gbogbo ìdajì ìsàlẹ̀ \([x_{i-1}, x_i]\), a máa ń súnmọ́ agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà náà nípa agbegbe trapezoid kan:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\ọtun]
\]
Lẹ́yìn náà, a ó rí gbogbo agbègbè náà (ìwọ̀n àpapọ̀) nípa fífi gbogbo àwọn trapezoids kún un:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\ọtun]
\]
Tí a bá ṣe àtúnṣe, ìlànà òfin trapezoidal onírúurú náà yóò di:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Ṣàkíyèsí ìlànà ìṣàfilọ́lẹ̀: a máa ń sọ àwọn àmì ìparí \(x_0\) àti \(x_n\) di púpọ̀ pẹ̀lú 1, nígbà tí a máa ń sọ àwọn àmì tó wà láàárín di púpọ̀ pẹ̀lú 2.
Àpẹẹrẹ Ìṣirò Rọrùn
Ká sọ pé a fẹ́ sún mọ́ ọn:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
Ní ìṣàyẹ̀wò, ìṣọ̀kan náà jẹ́ \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Síbẹ̀síbẹ̀, a ó lo ọ̀nà trapezoidal pẹ̀lú \(n=4\).
1. Àárín \([0,2]\), lẹ́yìn náà:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Iye iṣẹ:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Lo agbekalẹ trapezoid ti a ṣe sinu:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
Àbájáde tó súnmọ́ 2,75 súnmọ́ iye gangan ti 2,6667, pẹ̀lú àṣìṣe tó tó 0,0833.
Àṣìṣe nínú Ọ̀nà Trapezoidal
Ọ̀nà trapezoidal jẹ́ ọ̀nà ìfàsẹ́yìn, èyí tí ó túmọ̀ sí wípé ìyàtọ̀ wà láàrín iye ìfàsẹ́yìn àti iye ìṣọ̀kan gidi. Ìwọ̀n àṣìṣe náà ni ó ní ipa lórí:
1. Iye awọn akoko kekere \(n\): awọn ti o tobi \(n\), awọn ti o kere \(h\), ati ni gbogbogbo awọn abajade ti o peye sii.
2. Ìyípo iṣẹ́ náà: tí iṣẹ́ náà bá ní ìtẹ̀síwájú púpọ̀ (ó ní ìtẹ̀síwájú kejì ńlá), ọ̀nà trapezoidal lè má péye ju àwọn ọ̀nà ìtòlẹ́sẹẹsẹ gíga lọ.
Fún àwọn iṣẹ́ dídán tó péye (tí ó ní àwọn ìtọ́kasí kejì tó ń tẹ̀síwájú), a lè ṣe ìṣirò àṣìṣe ọ̀nà trapezoidal oníṣọ̀kan:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
fún àwọn \(\xi\) kan láàárín \(a\) àti \(b\). Láti inú àgbékalẹ̀ yìí, a lè rí i pé àṣìṣe náà dọ́gba pẹ̀lú \(h^2\). Ìyẹn ni pé, tí a bá pín \(h\) sí méjì (ìyẹn ni pé, ìlọ́po méjì iye àwọn ìdènà kékeré), àṣìṣe náà yóò dínkù sí nǹkan bí ìdá mẹ́rin kan.
Awọn anfani ti Ọna Trapezoidal
Ọna trapezoidal jẹ olokiki fun ọpọlọpọ awọn idi:
1. Rọrùn àti kíákíá
Iṣiro naa rọrun pupọ, ati pe a le ṣe pẹlu ọwọ fun awọn ọran kekere.
2. Ó yẹ fún àwọn ìwífún tábùlì
Tí a bá mọ iye \(f(x)\) ní àwọn ibi pàtó kan (fún àpẹẹrẹ àwọn àbájáde ìwọ̀n), a lè lo ọ̀nà yìí tààrà.
3. Ipese to dara ju ọna onigun mẹrin lọ
Nítorí pé ó lo àwọn ìpẹ̀kun méjì, ó sì fi ìlà títọ́ ṣe ìfọ́mọ́ iṣẹ́ náà, ó sábà máa ń péye ju ìfọ́mọ́ onígun mẹ́rin fún iye àwọn ìpín kan náà lọ.
4. Iduroṣinṣin fun ọpọlọpọ awọn ohun elo imọ-ẹrọ
Ọpọlọpọ awọn iṣoro fisiksi ati imọ-ẹrọ (fun apẹẹrẹ iṣiro iṣẹ, agbara, agbegbe apa-apakan, itusilẹ, ati bẹbẹ lọ) ni a le koju nipasẹ ọna yii.
Awọn idiwọn ti Ọna Trapezoidal
Bó tilẹ̀ jẹ́ pé ọ̀nà yìí wúlò, ó ní àwọn ààlà:
1. Kò péye tó fún àwọn iṣẹ́ tó tẹ̀ síta dáadáa
Nítorí pé ó ń lo ìsúnmọ́ onílà kan lórí ìsàlẹ̀ kọ̀ọ̀kan, àwọn iṣẹ́ tí ó ní àwọn ìyípadà kíákíá tàbí àwọn ìlà dídán nílò \(n\) ńlá.
2. Kìí ṣe ọ̀nà tí ó gbajúmọ̀
Àṣìṣe ìtòlẹ́sẹẹsẹ \(h^2\); àwọn ọ̀nà míràn bíi ti Simpson lè fúnni ní àṣìṣe kéékèèké lórí iye àwọn ìfàsẹ́yìn ìsàlẹ̀ kan náà (tí iṣẹ́ náà bá rọrùn tó).
3. Ó ní ìmọ̀lára sí yíyàn àkókò
Tí àlàfo náà bá gbòòrò jù tí \(n\) sì kéré, àwọn àbájáde náà lè yà sọ́tọ̀ gidigidi.
Penutup
Ọ̀nà ìṣọ̀kan trapezoidal jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà ìpìlẹ̀ jùlọ nínú ìṣọ̀kan nọ́mbà. Nípa pípín ààrin kan sí àwọn apá kékeré àti fífi ìlà títọ́ rọ́pò ìlà náà ní apá kọ̀ọ̀kan, a lè fojú díwọ̀n integral láìsí pé a ní láti rí antiderivative pẹ̀lú ìṣàyẹ̀wò. Fọ́múlá náà rọrùn, ó rọrùn láti lò, ó sì wúlò ní pàtàkì nígbà tí dátà náà bá yàtọ̀ sí ara wọn tàbí tí iṣẹ́ náà bá ṣòro láti so pọ̀.
Sibẹsibẹ, awọn olumulo ọna trapezoidal nilo lati fiyesi si nọmba awọn aaye kekere ati ihuwasi iṣẹ ti a ṣepọ. Fun awọn iṣẹ ti o tẹ pupọ tabi nigbati o ba nilo deede giga, ọna trapezoidal tun le ṣee lo nipa jijẹ \(n\), tabi a le ronu awọn ọna nọmba miiran bii awọn ọna Simpson tabi Romberg. Pẹlu oye ti o dara, ọna trapezoidal di ohun elo ti o munadoko ati ti o wulo fun yanju awọn iṣoro pataki ni imọ-jinlẹ, imọ-ẹrọ, ati eto-ọrọ aje.
