Ọ̀nà Ìparẹ́ Gaussian: Ìfihàn Jìn-jìnlẹ̀
Ọ̀nà ìyọkúrò Gaussian jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà ìpìlẹ̀ àti ọ̀nà tí a ń lò jùlọ nínú aljebra linear fún yíyanjú àwọn ètò ìdọ́gba linear. A sọ orúkọ rẹ̀ ní orúkọ onímọ̀ ìṣirò ńlá Carl Friedrich Gauss, ẹni tí ó ṣe àfikún pàtàkì sí ọ̀pọ̀lọpọ̀ ẹ̀ka ìṣirò. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí àwọn èrò ìpìlẹ̀ , ìlànà, àti àpẹẹrẹ ìlò ti ọ̀nà ìyọkúrò Gaussian.
Ìtàn àti Ẹ̀yìn
Carl Friedrich Gauss, ẹni tí ó gbé ayé ní ìparí ọ̀rúndún kejìdínlógún àti ìbẹ̀rẹ̀ ọ̀rúndún kọkàndínlógún, ni a kà sí ọ̀kan lára àwọn onímọ̀ ìṣirò tó gbajúmọ̀ jùlọ ní gbogbo ayé. Ọ̀nà ìparẹ́ tí a mọ̀ sí orúkọ rẹ̀ báyìí ti wà tipẹ́tipẹ́ kí a tó bí Gauss, ṣùgbọ́n ipa tó ga jùlọ tí ó kó ni láti tún un ṣe àti láti sọ ọ́ di mímọ̀.
Pàtàkì Ọ̀nà Ìparẹ́ Gaussian
Nínú ìmọ̀ ìṣirò àti ìmọ̀ kọ̀ǹpútà, ṣíṣe àtúnṣe sí àwọn ètò ìṣètò ìlà jẹ́ ìṣòro tó wọ́pọ̀. Ètò ìṣètò ìlà ní ìrísí gbogbogbòò:
\[
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n = b_1
\]
\[
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n = b_2
\]
\[
...
\]
\[
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n = b_m
\]
Ọ̀nà ìyọkúrò Gaussian ni láti yí ètò yìí padà sí ọ̀nà tó rọrùn kí ó lè rọrùn láti yanjú rẹ̀ nípa lílo àyípadà padà.
Ilana Imukuro Gaussian
Awọn Igbesẹ Ipilẹ
Ìlànà ìyọkúrò Gaussian ní àwọn ìpele pàtàkì méjì: ìyọkúrò síwájú àti ìyípadà ẹ̀yìn.
1. Ìyọkúrò síwájú
Ète ìgbésẹ̀ yìí ni láti yí ètò àwọn ìṣirò padà sí matrix onígun mẹ́ta òkè. Èyí ni a ṣe nípa ṣíṣe àwọn iṣẹ́ ìlà àkọ́kọ́, èyí tí ó ní nínú:
– Paṣipaarọ laini meji.
– Sọ ìlà kan di pupọ nipasẹ nọmba ti kii ṣe odo.
– Fikun tabi yọ awọn ọpọ lati ori ila kan si ori miiran.
Ká sọ pé a ní ètò àwọn ìdọ́gba ìlà nínú fọ́ọ̀mù matrix (Ax = b), níbi tí (A) jẹ́ matrix coefficient, (x) jẹ́ vektọ oniyipada, àti (b) jẹ́ fektọ oniduro. Àwọn ìgbésẹ̀ ìyọkúrò síwájú ni:
1. Yan ohun èlò ìyípo kan, tí ó sábà máa ń bẹ̀rẹ̀ láti \(a_{11}\).
2. Lo ohun elo pivot lati paarẹ (ṣe odo) ohun elo ti o wa ni isalẹ rẹ ni ọwọn kanna.
3. Tun ilana yii ṣe fun eroja pivot ti o tẹle ni isalẹ ila diagonal.
Fún àpẹẹrẹ, ẹ jẹ́ kí a wo ètò kan tí ó ní àwọn ìdọ́gba mẹ́ta:
\[
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1
\]
\[
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2
\]
\[
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3
\]
A bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú pivot \(a_{11}\), ṣe àwọn iṣẹ́ láti yọ \(a_{21}\) àti \(a_{31}\) kúrò.
2. Ìyípadà Àsẹ̀yìnwá
Lẹ́yìn tí a bá ti yọ ọ́ kúrò síwájú, a máa rí ètò àwọn ìṣirò tí a fi matrix òkè ṣe àfihàn. Fún àpẹẹrẹ:
\[
u_{11}x_1 + u_{12}x_2 + u_{13}x_3 = d_1
\]
\[
u_{22}x_2 + u_{23}x_3 = d_2
\]
\[
u_{33}x_3 = d_3
\]
Ni ipele yii, a ṣe rirọpo ẹhin lati isalẹ si oke:
1. Fún \(x_3\): \(x_3 = d_3 / u_{33}\).
2. Fún \(x_2\): \(x_2 = (d_2 – u_{23}x_3) / u_{22}\).
3. Fún \(x_1\): \(x_1 = (d_1 – u_{12}x_2 – u_{13}x_3) / u_{11}\).
Láti ṣàlàyé àlàyé tó wà lókè yìí, ẹ jẹ́ ká mú àpẹẹrẹ kan pàtó.
Ká sọ pé a ní ètò àwọn ìdọ́gba ìlà yìí:
\[
2x + 3y + z = 1
\]
\[
4x + y – 2z = -2
\]
\[
3x + 2y + 3z = 7
\]
A kọ ọ́ ní fọ́ọ̀mù matrix:
\[
\bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
2 àti 3 àti 1 \\
4 & 1 & -2 \\
3 àti 2 àti 3 \\
\opin{pmatrix}
\bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\opin{pmatrix}
=
\bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
1\\
-2 \\
7\\
\opin{pmatrix}
\]
1. Ìyọkúrò síwájú:
– Yan ohun èlò pivot \(2\), ohun àkọ́kọ́ ti ìlà àkọ́kọ́.
– Ṣẹ̀dá àwọn èròjà òdo ní ìsàlẹ̀ èròjà pivot àkọ́kọ́:
– Ìlà 2: \(4 – 2(2) = 0\)
– Ìlà 3: \(3 – \frac{3}{2}(2) = 0\)
– Awọn abajade lẹhin iṣẹ-abẹ ni:
\[
\bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
2 àti 3 àti 1 \\
0 & -5 & -4 \\
0 àti \frac{1}{2} àti \frac{7}{2} \\
\opin{pmatrix}
=
\bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
1\\
-2 \\
7\\
\opin{pmatrix}
\]
2. Ìyípadà ẹ̀yìn:
Bẹ̀rẹ̀ láti ìsàlẹ̀ ohun èlò kí o sì gbéra sókè láti wá àwọn iye oníyípadà díẹ̀díẹ̀.
– \(z = 1\)
– \(y = \frac{-19}{10}\)
– \(x = \frac{31}{10}\)
Àwọn Àǹfààní àti Àwọn Ààlà
Ọ̀nà ìyọkúrò Gaussian ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ àǹfààní. Àwọn wọ̀nyí ni:
– Lilo: A le lo si awọn eto pẹlu nọmba ti o tobi ju ti awọn oniyipada lọ.
– Ipele Iṣiro: Lilo iṣiro jẹ olowo poku ni ibatan si awọn iṣẹ ipilẹ.
– A le lo ni awọn ipo oriṣiriṣi: Mejeeji ni awọn fọọmu matrix kekere ati nla.
Sibẹsibẹ, ọna yii tun ni awọn idiwọn. Fun apẹẹrẹ, ni awọn ipo nibiti matrix fẹrẹ jẹ ẹyọkan tabi ti o ni ipinnu kekere pupọ, awọn aṣiṣe iyipo le jẹ iṣoro nla. Lilo alaye nọmba ni pẹkipẹki jẹ pataki ni ọna yii.
Ipari
Ọ̀nà ìyọkúrò Gaussian jẹ́ irinṣẹ́ alágbára fún yíyanjú àwọn ètò ìṣètò ìlà, ní ìmọ̀ ìṣirò àti nínú àwọn ohun èlò ìṣe ní gbogbo onírúurú ẹ̀ka. Láti ìṣàyẹ̀wò ìmọ̀ ẹ̀rọ sí ọrọ̀ ajé àti àwọn statistiki, Gauss ti fi ogún ìgbàanì ti àwọn ọ̀nà sáyẹ́ǹsì sílẹ̀ fún wa. Lílóye àwọn ìlànà ìpìlẹ̀ àti lílò wọn ní àwọn àyíká ayé gidi ṣe pàtàkì fún ẹnikẹ́ni tí ó bá fẹ́ mọ aljebra ìlà àti àwọn ohun èlò rẹ̀.
