Àpẹẹrẹ àwọn ìbéèrè tí ó ń jíròrò Àwọn Póótí Àkókò Ìpadà Kéré Jùlọ àti Iye Ìpadà Púpọ̀ Jùlọ

Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Àwọn Àmì Àṣejù: Iye Ìpadàbọ̀ Kéré Jùlọ àti Iye Ìpadàbọ̀ Púpọ̀ Jùlọ

Ṣíṣàyẹ̀wò àwọn àmì tó ga jùlọ, àwọn àmì tí iṣẹ́ kan dé iye tó kéré jù tàbí tó ga jù, jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò àti ìṣàyẹ̀wò ìṣirò. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí bí a ṣe lè rí àti ṣe àtúpalẹ̀ àwọn àmì tó ga jùlọ nípasẹ̀ ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìṣòro tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ìwọ̀n ìpadà tó kéré jù àti èyí tó ga jù.

Àwọn ìtumọ̀ àti àwọn ẹ̀kọ́ nípa kókó ọ̀rọ̀

Kí a tó jíròrò àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ, a nílò láti lóye àwọn èrò àti àbá díẹ̀ nínú wọn:

1. Àkójọpọ̀ Àkíyèsí: Ṣé iye \( x \) ni ibi tí ìtọ́kasí àkọ́kọ́ \( f'(x) \) ti iṣẹ́ \( f(x) \) jẹ́ òdo tàbí kò sí.
2. Iye Ipadabọ to pọ julọ: Ṣe iye ti \( f(x) \) ti o tobi ju iye \( f(x) \) lọ ni ayika aaye yẹn.
3. Iye Ìdápadà Tó Kéré Jùlọ: Ṣé iye \( f(x) \) tó kéré ju iye \( f(x) \) tó wà ní àyíká ibi yẹn lọ ni.
4. Ìlànà Fermat: Tí \( f \) bá ní iye ààlà ní \( c \) àti pé àbájáde \( f'(c) \) wà, nígbà náà \( f'(c) = 0 \).

Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Àwọn Iṣẹ́ Onígun mẹ́rin

Ni akọkọ, a bẹrẹ pẹlu iṣẹ onigun mẹrin kan ti o rọrun:

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

Awọn igbesẹ:

1. Wa itọsẹ akọkọ ti \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. Wa awọn aaye pataki nipa ṣiṣe idahun \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \túmọ̀ sí x = 1
\]

3. Pinnu iye iṣẹ naa ni aaye pataki:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. Lo àtúnṣe kejì láti mọ irú ojú ọ̀rọ̀ náà:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Nítorí \( f”(1) > 0 \), ojú àmì \( x = 1 \) jẹ́ ojú àmì tó kéré jùlọ ní agbègbè.

Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Àwọn Iṣẹ́ Polynomial

Ẹ jẹ́ kí a gbìyànjú pẹ̀lú iṣẹ́ polynomial kan tí ó díjú síi:

\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

Awọn igbesẹ:

1. Pinnu ohun tí a kọ́kọ́ ṣe àtúnṣe \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. Wa awọn aaye pataki nipa ṣiṣe ipinnu \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \túmọ̀ sí 3x(x – 2) = 0 \túmọ̀ sí x = 0 \text{ tàbí } x = 2
\]

3. Pinnu iye iṣẹ naa ni aaye pataki:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. Lo àtúnṣe kejì láti mọ irú ojú ọ̀rọ̀ náà:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{iye ti o pọju agbegbe})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{iye ti o kere ju ti agbegbe})
\]

Nítorí náà, \( g(x) \) ní iye tó pọ̀jù ní \( x = 0 \) àti iye tó kéréjù ní \( x = 2 \).

Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Àwọn Iṣẹ́ Àtẹ̀lé-ìṣẹ̀dá

Ẹ jẹ́ ká wo iṣẹ́ kan tó ní ìtumọ̀ ọ̀rọ̀ nínú:

\[ h(x) = xe^{-x} \]

Awọn igbesẹ:

1. Pinnu ìtọ́kasí àkọ́kọ́ \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x) e^{-x}
\]

2. Wa aaye pataki nipa ṣiṣe idahun \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \túmọ̀ sí 1 – x = 0 \túmọ̀ sí x = 1
\]

3. Pinnu iye iṣẹ naa ni aaye pataki:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. Lo àtúnṣe kejì láti mọ irú ojú ọ̀rọ̀ náà:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h” (1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Nítorí \( h”(1) < 0 \), ojú àmì \( x = 1 \) jẹ́ àkópọ̀ tó pọ̀jù ní agbègbè. Àpẹẹrẹ Ìṣòro 4: Àwọn Iṣẹ́ Ìlànà Níkẹyìn, a ṣe àyẹ̀wò iṣẹ́ ìlànà: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]

Àwọn ìgbésẹ̀: 1. Wá àkọ́kọ́ tí a ṣe àtúnṣe nípa lílo òfin ìṣàfihàn: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Wá àwọn kókó pàtàkì nípa ṣíṣe àtúnṣe \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \ifihan x^2 - 2 = 0 \ifihan x = \pm \sqrt{2} \] 3. Wá iye iṣẹ́ náà ní àwọn kókó pàtàkì: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Lo àtúnṣe kejì láti ṣàyẹ̀wò ìrísí ojú ìwé náà: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Àwọn ìṣirò síwájú síi le ṣe nípa ṣíṣe àtúnṣe ìyàtọ̀ \( k'(x) \) èyí tí yóò fihàn bóyá \( x = \sqrt{2} \) àti \( x = -\sqrt{2} \) jẹ́ àkójọpọ̀ tàbí minima àdúgbò. Ìparí Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ti jíròrò ọ̀pọ̀ àpẹẹrẹ tí ó fihàn bí a ṣe lè rí extrema, ìyẹn ni, àwọn ìwọ̀n ìyípadà tí ó kéré jùlọ àti èyí tí ó pọ̀ jùlọ, ti onírúurú iṣẹ́. Àwọn ọ̀nà tí a lò pẹ̀lú wíwá àtúnṣe àkọ́kọ́ láti wá àwọn ojú ìwé pàtàkì, lílo àtúnṣe kejì láti pinnu ìrísí àwọn ojú ìwé náà, àti ṣíṣe àyẹ̀wò iṣẹ́ náà ní àwọn ojú ìwé wọ̀nyẹn. Èyí pèsè ìpìlẹ̀ tí ó lágbára fún ṣíṣàyẹ̀wò jinlẹ̀ sínú ìṣàyẹ̀wò iṣẹ́ nínú kalkulus.