Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Àwọn Àmì Àṣejù: Iye Ìpadàbọ̀ Kéré Jùlọ àti Iye Ìpadàbọ̀ Púpọ̀ Jùlọ
Ṣíṣàyẹ̀wò àwọn àmì tó ga jùlọ, àwọn àmì tí iṣẹ́ kan dé iye tó kéré jù tàbí tó ga jù, jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò àti ìṣàyẹ̀wò ìṣirò. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí bí a ṣe lè rí àti ṣe àtúpalẹ̀ àwọn àmì tó ga jùlọ nípasẹ̀ ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìṣòro tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ìwọ̀n ìpadà tó kéré jù àti èyí tó ga jù.
Àwọn ìtumọ̀ àti àwọn ẹ̀kọ́ nípa kókó ọ̀rọ̀
Kí a tó jíròrò àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ, a nílò láti lóye àwọn èrò àti àbá díẹ̀ nínú wọn:
1. Àkójọpọ̀ Àkíyèsí: Ṣé iye \( x \) ni ibi tí ìtọ́kasí àkọ́kọ́ \( f'(x) \) ti iṣẹ́ \( f(x) \) jẹ́ òdo tàbí kò sí.
2. Iye Ipadabọ to pọ julọ: Ṣe iye ti \( f(x) \) ti o tobi ju iye \( f(x) \) lọ ni ayika aaye yẹn.
3. Iye Ìdápadà Tó Kéré Jùlọ: Ṣé iye \( f(x) \) tó kéré ju iye \( f(x) \) tó wà ní àyíká ibi yẹn lọ ni.
4. Ìlànà Fermat: Tí \( f \) bá ní iye ààlà ní \( c \) àti pé àbájáde \( f'(c) \) wà, nígbà náà \( f'(c) = 0 \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Àwọn Iṣẹ́ Onígun mẹ́rin
Ni akọkọ, a bẹrẹ pẹlu iṣẹ onigun mẹrin kan ti o rọrun:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Awọn igbesẹ:
1. Wa itọsẹ akọkọ ti \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Wa awọn aaye pataki nipa ṣiṣe idahun \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \túmọ̀ sí x = 1
\]
3. Pinnu iye iṣẹ naa ni aaye pataki:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Lo àtúnṣe kejì láti mọ irú ojú ọ̀rọ̀ náà:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Nítorí \( f”(1) > 0 \), ojú àmì \( x = 1 \) jẹ́ ojú àmì tó kéré jùlọ ní agbègbè.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Àwọn Iṣẹ́ Polynomial
Ẹ jẹ́ kí a gbìyànjú pẹ̀lú iṣẹ́ polynomial kan tí ó díjú síi:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Awọn igbesẹ:
1. Pinnu ohun tí a kọ́kọ́ ṣe àtúnṣe \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Wa awọn aaye pataki nipa ṣiṣe ipinnu \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \túmọ̀ sí 3x(x – 2) = 0 \túmọ̀ sí x = 0 \text{ tàbí } x = 2
\]
3. Pinnu iye iṣẹ naa ni aaye pataki:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Lo àtúnṣe kejì láti mọ irú ojú ọ̀rọ̀ náà:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{iye ti o pọju agbegbe})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{iye ti o kere ju ti agbegbe})
\]
Nítorí náà, \( g(x) \) ní iye tó pọ̀jù ní \( x = 0 \) àti iye tó kéréjù ní \( x = 2 \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Àwọn Iṣẹ́ Àtẹ̀lé-ìṣẹ̀dá
Ẹ jẹ́ ká wo iṣẹ́ kan tó ní ìtumọ̀ ọ̀rọ̀ nínú:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Awọn igbesẹ:
1. Pinnu ìtọ́kasí àkọ́kọ́ \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x) e^{-x}
\]
2. Wa aaye pataki nipa ṣiṣe idahun \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \túmọ̀ sí 1 – x = 0 \túmọ̀ sí x = 1
\]
3. Pinnu iye iṣẹ naa ni aaye pataki:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Lo àtúnṣe kejì láti mọ irú ojú ọ̀rọ̀ náà:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h” (1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Karena \( h”(1) < 0 \), titik \( x = 1 \) adalah titik maksimum lokal.
Contoh Soal 4: Fungsi Rasional
Terakhir, kita evaluasi fungsi rasional:
\[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]
Langkah-langkah:
1. Tentukan turunan pertama menggunakan aturan hasil bagi:
\[
k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2}
\]
2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( k'(x) = 0 \):
\[
\frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2}
\]
3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik:
\[
k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2}
\]
\[
k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2}
\]
4. Gunakan turunan kedua untuk memeriksa sifat titik tersebut:
\[
k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right)
\]
Penghitungan lebih lanjut dapat dilakukan dengan menurunkan kembali \( k'(x) \) yang hasilnya akan menunjukkan apakah \( x = \sqrt{2} \) dan \( x = -\sqrt{2} \) adalah titik maksimum atau minimum lokal.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal yang menunjukkan cara mencari titik ekstrim, yaitu nilai balik minimum dan nilai balik maksimum, dari berbagai jenis fungsi. Teknik yang digunakan meliputi mencari turunan pertama untuk menemukan titik kritik, menggunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik, dan mengevaluasi fungsi pada titik-titik tersebut. Ini adalah dasar yang kuat untuk menyelami lebih dalam analisis fungsional dalam kalkulus.
