Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Ìjíròrò Ìṣiṣẹ́ Vektor
Àwọn iṣẹ́ vektọ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò tí ó máa ń hàn ní onírúurú ẹ̀ka ìwádìí, bíi fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, àti ìmọ̀ kọ̀ǹpútà. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ iṣẹ́ vektọ àti àwọn ìdáhùn wọn láti fúnni ní òye tó jinlẹ̀ àti tó dájú. Àwọn àpẹẹrẹ wọ̀nyí yóò bo àwọn iṣẹ́ ìpìlẹ̀ bíi ìfikún àti ìyọkúrò vektọ, àti àwọn iṣẹ́ tó ti ní ìlọsíwájú bíi ìsọdipúpọ̀ scalar àti ìsọdipúpọ̀ cross-vektor.
1. Àfikún àti Ìyọkúrò Vektor
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1
Fún àwọn fákítà méjì A àti B ní ìrísí èròjà:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Ṣírò àbájáde ìfikún àti ìyọkúrò àwọn fákítà méjì náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Fún àfikún fekito, a fi gbogbo ohun tó báramu nínú fekito meji náà kún un.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Fún ìyọkúrò vekto, a yọ gbogbo ohun tó báramu nínú àwọn vekto méjèèjì kúrò.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Ìsọdipúpọ̀ Scalar nípasẹ̀ Vektor
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2
Fún fíkítà C àti scalar k:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ k = 4 \]
Ṣírò ọjà scalar ti vektọ C nípa scalar k.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ scalar nípasẹ̀ vektọ ni a ṣe nípa ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ pátákó kọ̀ọ̀kan ti vektọ pẹ̀lú scalar.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Ọjà Dótì
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3
Fún àwọn fítírò D àti E méjì:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \bẹrẹ{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \opin{pmatrix} \]
Ṣírò ọjà àmì ti àwọn fíkto méjì náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
A gba ọja aami ti awọn fekito meji nipa fifi awọn ọja ti awọn paati ti o baamu wọn kun.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Ọjà Àgbélébùú
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4
Fún àwọn fítírò méjì F àti G:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Ṣírò ọjà àgbélébùú ti àwọn fíkítà méjì náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
A le gba ọja agbelebu ti awọn fekito meji ni aaye onisẹpo mẹta nipa lilo ipinnu ti matrix ti awọn fekito wọnyẹn ṣẹda. A fun ọja agbelebu nipasẹ agbekalẹ naa:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \bẹrẹ{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \opin{vmatrix} \]
A le ṣe iṣiro eyi ni ọna atẹle yii:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \opin{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \opin{vmatrix} + \mathbegin 2{k & -1 \opin{vmatrix}
\]
Ṣíṣírò olùpinnu ti submatrix kọọkan:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \ opin{pmatrix}
\]
Nitorinaa, ọja agbelebu ti F ati G ni:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Pípín igun láàárín àwọn vektọ méjì
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5
Fún àwọn fítírò méjì H àti I:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Pinnu igun laarin awọn fekito meji naa.
Ifọrọwanilẹnuwo
A le ri igun \(\theta\) laarin awọn fekito meji nipa lilo ibatan laarin ọja aami ati awọn titobi awọn fekito meji:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Àkọ́kọ́, ṣírò ọjà àmì náà \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Lẹ́yìn náà, ṣe ìṣirò bí àwọn fákítà méjèèjì ṣe tó:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Lẹhinna, rọpo awọn iye wọnyi sinu agbekalẹ igun:
\[ \cos \theta = \ frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
Gẹ́gẹ́ bí àbájáde ìkẹyìn, a lè lo ẹ̀rọ ìṣirò láti wá iye igun náà:
\[ \theta \nnọ́mbà 73,4^\circ \]
Ipari
Ẹ̀kọ́ nípa iṣẹ́ vektọ ṣe pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò àti sáyẹ́ǹsì. Àpilẹ̀kọ yìí jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìṣòro àpẹẹrẹ àti àwọn ìdáhùn wọn, láti ìfikún àti ìyọkúrò vektọ, ìsọdipúpọ̀ scalar, ọjà dot, ọjà cross, àti pípinnu igun láàrín àwọn vektọ méjì. Nípa ṣíṣiṣẹ́ nípasẹ̀ àwọn àpẹẹrẹ wọ̀nyí, a nírètí láti mú kí òye rẹ nípa iṣẹ́ vektọ pọ̀ sí i àti láti ràn ọ́ lọ́wọ́ láti yanjú àwọn ìṣòro tí ó ní í ṣe pẹ̀lú vektọ ní onírúurú ipò.
