Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Àwọn Ìṣẹ̀lẹ̀ Ayérayé Kọ́ńtíómù
Àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ quantum, tàbí àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ tí àwọn onímọ̀ nípa kuantum ń ṣàkóso, ní onírúurú àwọn èrò àti ìlànà tí ó nílò òye jíjinlẹ̀ àti ìṣòro ìṣirò. Àwọn onímọ̀ nípa kuantum jẹ́ ẹ̀ka fisiksi tí ó ń ṣàpèjúwe ìwà àwọn èròjà subatomic, bíi elekitironi àti fotoni, tí a kò le ṣàlàyé nípasẹ̀ fisiksi kilasika. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ àti àwọn ìdáhùn wọn tí ó níí ṣe pẹ̀lú àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ kuantum láti ran lọ́wọ́ láti lóye àwọn ìlànà ìpìlẹ̀ ti àwọn onímọ̀ nípa kuantum.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Ìlànà Àìdánilójú Heisenberg
Ìbéèrè:
A mọ̀ pé a ń wọn ipò elekitironi kan nínú átọ̀mù pẹ̀lú ìpéye ti \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} \). Pinnu àìdánilójú tó kéré jùlọ nígbà tí a bá ń wọn agbára elekitironi (\( \Delta p \)) nípa lílo ìlànà àìdánilójú Heisenberg.
Ìdáhùn:
Ìlànà àìdánilójú Heisenberg sọ pé:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
níbi tí \( \hbar \) jẹ́ ìdúró Planck tí a dínkù, pẹ̀lú iye \( \hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} \).
Rọpò \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \igba 10^{-34}}{2 \igba 0.1 \igba 10^{-9}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \igba 10^{-34}}{2 \igba 10^{-10}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \igba 10^{-34}}{2 \igba 10^{-10}} = 5.27 \igba 10^{-25} \text{ kg m/s} \]
Nítorí náà, àìdánilójú tó kéré jùlọ nínú wíwọ̀n agbára elekitironi ni \( 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Agbára Tó Lè Ṣeé Ṣe Nínú Àpótí (Pátákì Nínú Àpótí)
Ìbéèrè:
Ẹ̀yà kan tí ó ní ìwọ̀n m ni a dì mọ́ inú àpótí onígun kan tí ó ní gígùn L. Kí ni agbára pàtàkì (agbára ilẹ̀) ti ẹ̀yà náà?
Ìdáhùn:
Agbára pàtàkì (agbára ìpìlẹ̀ ilẹ̀) ti èròjà kan nínú àpótí oníwọ̀n kan ni a fi ìṣirò náà fún:
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]
Fún ipò ilẹ̀ (\( n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
níbi tí \(h \) jẹ́ àìdúróṣinṣin Planck \( (h \nọ́mbà 6.626 \ìgbà 10^{-34} \text{ Js}) \).
Ká sọ pé \( m = 9.109 \igba 10^{-31} \text{ kg} \) (ìwọ̀n elekitironi) àti \( L = 1 \igba 10^{-9} \text{ m} \):
\[ E_1 = \frac{(6.626 \igba 10^{-34})^2}{8 \ìgbà 9.109 \ìgbà 10^{-31} \ìgbà (ìgbà 10^{-9})^2} \]
\[ E_1 = \frac{4.39 \igba 10^{-67}}{7.287 \igba 10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \igba 10^{-18} \ọ̀rọ̀{ J} \]
Nítorí náà, agbára ìpìlẹ̀ ti èròjà náà ni \( 6.02 \times 10^{-18} \text{ J} \).
Àpẹẹrẹ 3: Àwọn Iṣẹ́ Olùṣiṣẹ́ Hamiltonian lórí Àwọn Iṣẹ́ Ìgbì
Ìbéèrè:
Iṣẹ́ ìgbì ti pàǹtírì kan nínú àpótí oníwọ̀n kan ni \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) fún \( n=1,2,3,\ldots \). Pinnu agbára pàǹtírì náà nípa lílo olùṣiṣẹ́ Hamiltonian \( \hat{H} \).
Ìdáhùn:
Oniṣẹ Hamiltonian ni apa kan ni:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]
A gbọ́dọ̀ lo olùṣiṣẹ́ Hamiltonian sí iṣẹ́ ìgbì omi \( \psi(x) \):
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
Àkọ́kọ́ àtúnsọ ti \( \psi(x) \):
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( \frac{n\pi}{L} \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
Àtúnṣe kejì:
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( -\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Nisinsinyi, ropo abajade naa pada si oniṣẹ Hamiltonian:
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \ọtun) \ọtun) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Láti ibi yìí, a rí i pé:
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]
Nítorí náà, agbára pàǹtíkì náà ni:
\[ E_n = \ frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Ká sọ pé a fẹ́ wá agbára fún \( n=1 \):
\[ E_1 = \ frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Ipari
Láti yanjú àwọn ìṣòro tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ kuatomu nílò òye tó dájú nípa àwọn ìlànà ìpìlẹ̀ ti àwọn ẹ̀rọ kuatomu, bíi ìlànà àìdánilójú Heisenberg àti agbára àwọn èròjà inú àpótí tó ṣeé ṣe. Nípasẹ̀ ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ àti ìjíròrò wọn, a nírètí láti ran àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti àwọn ẹ̀rọ kuatomu lọ́wọ́ àti àwọn ìlò rẹ̀ ní onírúurú ipò fisiksi. Bó tilẹ̀ jẹ́ pé àwọn ẹ̀rọ kuatomu lè dà bí ohun tó díjú, àwọn ìṣòro ìṣe àti òye èrò yóò ran lọ́wọ́ gidigidi láti mọ ohun èlò ìpìlẹ̀ yìí.
