Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Àwọn Ẹ̀ka Tangent sí Àwọn Ẹ̀ka Koniki
Pendahuluan
Apá kọ́nkì jẹ́ ìlà tí ó wá láti oríta ọkọ̀ òfurufú pẹ̀lú kọ́nkì dípọ́là. Àwọn ìlà wọ̀nyí ní àwọn yíká, àwọn ellipses, parabolas, àti hyperbolas. Kókó pàtàkì kan nínú òye àwọn ẹ̀yà kọ́nkì ni ìlà tangent. Ìlà tí ó tangent sí apá kọ́nkì ni ìlà tí ó kan ìlà kọ́nkì ní ojú kan ṣoṣo. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìṣòro àti ìjíròrò nípa àwọn tangent sí àwọn apá kọ́nkì.
Tangent sí Circle kan
Circle jẹ́ apá koniki kan tí ó ní ìrísí tí ó rọrùn jùlọ àti ìṣọ̀kan pípé. Ẹ jẹ́ kí a bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú àpẹẹrẹ ìṣòro nípa àwọn tangent sí circle kan.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1
Fún yíká pẹ̀lú ìdọ́gba \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \). Pinnu ìdọ́gba ìlà tangent ní ojú àmì \((5, -3)\) lórí yíká náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ìgbékalẹ̀ gbogbogbòò ti yíká ni \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), pẹ̀lú \( (h, k) \) gẹ́gẹ́ bí àárín yíká náà àti \( r \) gẹ́gẹ́ bí rédíọ̀mù. Nínú ìṣòro yìí, àárín yíká náà ni \((h, k)\) jẹ́ \((2, -3)\) àti rédíọ̀mù \( r = \sqrt{25} = 5 \).
A le ri ila tangent ni aaye \((x_1, y_1)\) lori iyika nipa lilo agbekalẹ atẹle yii:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Tẹ awọn iye ti a mọ sii:
\[ (x – 2) (5 – 2) + (y + 3) (-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2) (3) + (y + 3) (0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
Ìgbékalẹ̀ ìlà tangent ni \(x = \frac{31}{3}\), ṣùgbọ́n àṣìṣe kan wà nínú ọ̀nà yìí nítorí pé ojú àmì \((5, -3)\) jẹ́ ojú àmì kan lórí yíká náà. Nítorí náà, a lo ọ̀nà ìbílẹ̀ nípa fífi ìtẹ̀sí ìlà tangent rọ́pò ní ojú àmì pàtó yìí:
Àmì tangent ni, \((5, -3)\), lẹ́yìn náà, gradient (m) ti ìlà radius jẹ́ \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), níbi tí gradient ti ìlà tangent di aláìṣe àlàyé fún tangent inaro ti ó ṣáájú.
Ìlà Tangent sí Ellipse kan
Àpá ellipse jẹ́ apá onígun méjì tí ó ní ìlà méjì tí ó ní ìṣọ̀kan: àpá gígun (àpá gígun) àti àpá kékeré (àpá kúkúrú). Àwọn àpẹẹrẹ díẹ̀ lára àwọn ìṣòro pẹ̀lú àpá ellipse nìyí.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2
Fúnni ní ellipse pẹ̀lú ìṣirò \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Pinnu ìṣirò ìlà tangent ní ojú ìwòye \(2, \frac{3}{2})\) lórí ellipse náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ìgbékalẹ̀ ìlà tangent sí ellipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ní ojú ìwòye \((x_1, y_1)\) ni:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Pẹ̀lú \(a = 4\) àti \(b = 3\), fi àwọn iye \(a\), \(b\), àti ojú ìwé \((2, \frac{3}{2})\ rọ́pò:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Ṣe ìsọdipúpọ̀ gbogbo ìfojúsùn náà sí 8 láti mú àwọn ìpín náà kúrò:
\[ x + 4y = 8 \]
Nítorí náà, ìdọ́gba ìlà tangent sí ellipse náà jẹ́ \( x + 4y = 8 \).
Ìlà Tangent sí Parabola
Parabola jẹ́ apá onígun mẹ́rin pẹ̀lú ìlà kan ti ìṣọ̀kan àti ìlà kan. Àwọn àpẹẹrẹ díẹ̀ lára àwọn ìṣòro pẹ̀lú parabola nìyí.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3
Fúnni ní parabola pẹ̀lú ìṣirò \( y^2 = 4x \). Pinnu ìṣirò ìlà tangent ní ojú ìwòye \((1, 2)\) lórí parabola náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ìgbékalẹ̀ ìlà tangent sí parabola \( y^2 = 4ax \) ní ojú ìwòye \((x_1, y_1)\) ni:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Láti inú ìgbékalẹ̀ parabola \( y^2 = 4x \), a gba \( 4a = 4 \) kí \( a = 1 \). Fi iye \( a \) àti ojú ìwé \((1, 2)\ rọ́pò rẹ̀):
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
Nítorí náà, ìdọ́gba ìlà tangent sí parabola náà jẹ́ \( y = x + 1 \).
Ìlà Tangent sí Hyperbola
Hyperbola jẹ́ apá conic pẹ̀lú ẹ̀ka méjì àti asymptotes méjì. Àwọn àpẹẹrẹ díẹ̀ lára àwọn ìṣòro pẹ̀lú hyperbolas nìyí.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4
Fúnni ní hyperbola pẹ̀lú ìṣirò \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Pinnu ìṣirò ìlà tangent ní ojú ìwòye \((5, 0)\) lórí hyperbola náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ìgbékalẹ̀ ìlà tangent sí hyperbola \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) ní ojú ìwòye \((x_1, y_1)\) ni:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Pẹ̀lú \(a = 5 \) àti \(b = 4 \), fi àwọn iye \(a \), \(b \), àti ojú ìwé \((5, 0)\ rọ́pò:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Nítorí náà, ìdọ́gba ìlà tangent sí hyperbola náà jẹ́ \( x = 5 \).
Ipari
Àwọn Tangent sí àwọn apakan conic kó ipa pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò àti onírúurú àwọn ohun èlò ìṣe. Lílóye bí a ṣe lè rí àwọn ìdọ́gba ti àwọn tangent sí onírúurú àwọn apakan conic, bíi circles, ellipses, parabolas, àti hyperbolas, jẹ́ ọgbọ́n pàtàkì nínú calculus àti analytic geometry. Pẹ̀lú àwọn àpẹẹrẹ àti ìjíròrò tí a gbé kalẹ̀, a nírètí pé àwọn òǹkàwé yóò ní òye tí ó dára jù nípa àwọn èrò àti ọ̀nà fún pípinnu àwọn tangent sí àwọn apakan conic.
