Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Àwọn Iṣẹ́ Abẹ́rẹ́, Ìṣàn-ẹ̀rọ, àti Ìṣẹ́-iṣẹ́-bí-orí
Ìtumọ̀ iṣẹ́ kan àti ìwúlò rẹ̀ nínú ìmọ̀ ìṣirò sábà máa ń jẹ́ kókó ọ̀rọ̀ tó fani mọ́ra. Nínú ọ̀rọ̀ yìí, a sábà máa ń rí àwọn ọ̀rọ̀ bíi iṣẹ́ abẹ́rẹ́, iṣẹ́ àgbéyẹ̀wò, àti iṣẹ́ àgbéyẹ̀wò méjì. Lílóye irú iṣẹ́ mẹ́ta wọ̀nyí ṣe pàtàkì fún ìwádìí ìṣirò àti àwọn ohun tí wọ́n ń lò ní onírúurú ẹ̀ka bíi ìmọ̀ kọ̀ǹpútà, ìmọ̀ nípa ọrọ̀ ajé, àti ìmọ̀ nípa fisiksi.
Lílóye Àwọn Iṣẹ́ Abẹ́rẹ́, Ìṣàn-ẹ̀rọ, àti Ìṣiṣẹ́ Bijective
Kí a tó jíròrò àwọn àpẹẹrẹ ìbéèrè àti ìjíròrò wọn, ẹ jẹ́ kí a kọ́kọ́ rántí ìtumọ̀ àwọn iṣẹ́ mẹ́ta náà.
1. Iṣẹ́ Abẹ́rẹ́ (Iṣẹ́ Kan-sí-Ọ̀kan): Iṣẹ́ kan f : A → B ni a ń pè ní abẹ́rẹ́ tí ó bá jẹ́ fún gbogbo a1 àti a2 nínú agbègbè A, tí f(a1) = f(a2), nígbà náà a1 gbọ́dọ̀ dọ́gba pẹ̀lú a2. Ní ọ̀rọ̀ mìíràn, iṣẹ́ abẹ́rẹ́ kan ń rí i dájú pé àwọn èròjà pàtó nínú agbègbè A ni a yà sọ́tọ̀ sí àwọn èròjà pàtó nínú agbègbè B.
2. Iṣẹ́ Àgbékalẹ̀ (Onto Iṣẹ́): Iṣẹ́ kan f : A → B ni a ń pè ní surjective tí gbogbo ohun èlò inú codomain B bá ní ó kéré tán ohun èlò kan nínú domain A tí a yà sọ́tọ̀ sí i. Nínú ọ̀ràn yìí, codomain B kò ní àwọn ohun èlò “òfo” tàbí kò ní àwọn ẹlẹgbẹ́ láti domain A.
3. Iṣẹ́ Ìbáṣepọ̀ (Ìbáṣepọ̀ Ọ̀kan sí Ọ̀kan): Iṣẹ́ kan f : A → B ni a ń pè ní bijective tí ó bá jẹ́ injective àti surjective. Èyí túmọ̀ sí wípé gbogbo ohun tí ó wà nínú domain A ní alábàáṣepọ̀ àrà ọ̀tọ̀ nínú codomain B, àti pé gbogbo ohun tí ó wà nínú codomain B ní alábàáṣepọ̀ àrà ọ̀tọ̀ nínú domain A.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
Ìbéèrè 1: Iṣẹ́ Abẹ́rẹ́
Ìbéèrè:
Fún iṣẹ́ f : ℝ → ℝ tí a túmọ̀ sí f(x) = 2x + 3. Fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ iṣẹ́ abẹ́rẹ́.
Ìjíròrò:
Láti fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ abẹ́rẹ́, a ní láti fi hàn pé tí f(a) = f(b) bá jẹ́ a = b.
Ká sọ pé f(a) = f(b), a sọ pé:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Yọ 3 kuro lati ẹgbẹ mejeeji:
\[ 2a = 2b \]
Pin si meji ni ẹgbẹ mejeeji:
\[ a = b \]
Níwọ́n ìgbà tí a ti fihàn pé f(a) = f(b) ń fa a = b, nígbà náà iṣẹ́ f(x) = 2x + 3 jẹ́ iṣẹ́ abẹ́rẹ́.
Ìbéèrè 2: Iṣẹ́ Àwòrán
Ìbéèrè:
Fún iṣẹ́ kan g: ℝ → ℝ tí a túmọ̀ sí g(x) = x^3. Fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ iṣẹ́ àfojúsùn.
Ìjíròrò:
Láti fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ àbájáde, a ní láti fi hàn pé fún gbogbo èròjà y nínú àkójọpọ̀ ℝ, ó kéré tán èròjà x kan wà nínú àkójọpọ̀ ℝ tí g(x) = y.
Jẹ́ kí y ∈ ℝ. A fẹ́ rí x tó bẹ́ẹ̀:
\[ x^3 = y \]
Mu \( x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
Níwọ́n ìgbà tí fún gbogbo y nínú codomain ℝ a lè rí x tó jẹ́ \( x = \sqrt[3]{y} \), nígbà náà iṣẹ́ g(x) = x^3 jẹ́ iṣẹ́ àgbéyẹ̀wò.
Ìbéèrè 3: Àwọn Iṣẹ́ Onírúurú
Ìbéèrè:
Fún iṣẹ́ kan ní h: ℝ → ℝ tí a túmọ̀ sí h(x) = x – 1. Fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ èrò méjì.
Ìjíròrò:
Abẹ́rẹ́:
Láti fihàn pé h(x) jẹ́ abẹ́rẹ́, a ní láti fihàn pé tí h(a) = h(b) bá jẹ́ a = b.
Jẹ́ kí h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
Fi 1 kun ni ẹgbẹ mejeeji:
\[ a = b \]
Níwọ́n ìgbà tí h(a) = h(b) ń fa a = b, nígbà náà iṣẹ́ h(x) = x – 1 jẹ́ iṣẹ́ abẹ́rẹ́.
Àlàyé:
Láti fihàn pé h(x) jẹ́ àbájáde, a ní láti fihàn pé fún gbogbo èròjà y nínú àkójọpọ̀ ℝ, ó kéré tán èròjà x kan wà nínú àkójọpọ̀ ℝ tí h(x) = y.
Jẹ́ kí y ∈ ℝ. A fẹ́ rí x tó bẹ́ẹ̀:
\[ x – 1 = y \]
Fi 1 kun ni ẹgbẹ mejeeji:
\[ x = y + 1 \]
Níwọ́n ìgbà tí fún gbogbo y nínú codomain ℝ a lè rí x tó bẹ́ẹ̀ tí x = y + 1, nígbà náà iṣẹ́ h(x) = x – 1 jẹ́ iṣẹ́ àgbéyẹ̀wò.
Níwọ́n ìgbà tí h(x) jẹ́ abẹ́rẹ́ àti àbájáde, h(x) jẹ́ iṣẹ́ àbájáde méjì.
Ìbéèrè 4: Pípín Irú Iṣẹ́ náà
Ìbéèrè:
Fún iṣẹ́ f: ℕ → ℕ tí a túmọ̀ sí f(x) = 2x. Pinnu bóyá f jẹ́ iṣẹ́ abẹ́rẹ́, iṣẹ́ àgbéyẹ̀wò, tàbí iṣẹ́ àgbéyẹ̀wò méjì.
Ìjíròrò:
Abẹ́rẹ́:
Láti fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ abẹ́rẹ́, a ní láti fi hàn pé tí f(a) = f(b) bá jẹ́ a = b.
Ká sọ pé f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Pin si meji ni ẹgbẹ mejeeji:
\[ a = b \]
Nítorí náà, f(x) = 2x jẹ́ iṣẹ́ abẹ́rẹ́.
Àlàyé:
Láti fi hàn pé iṣẹ́ yìí jẹ́ àbájáde, a ní láti fi hàn pé fún gbogbo èròjà y nínú ìpín-ayélujára ℕ, ó kéré tán èròjà x kan wà nínú ìpín-ayélujára ℕ tí f(x) = y.
Ṣùgbọ́n ẹ kíyèsí pé ìpín-àpapọ̀ náà jẹ́ ℕ (àwọn nọ́mbà àdánidá), nígbàtí f(x) = 2x mú kí nọ́mbà déédé jáde. Ká sọ pé y jẹ́ nọ́mbà àìdá, kò sí x nínú ℕ tó bẹ́ẹ̀ tí 2x = y.
Nítorí náà, f(x) = 2x kìí ṣe iṣẹ́ àfikún.
Níwọ́n ìgbà tí f(x) kìí ṣe àròjinlẹ̀, f(x) náà kìí ṣe àròjinlẹ̀ méjì.
Ní ìbámu pẹ̀lú onírúurú àpẹẹrẹ tí a ti kọ lókè yìí, a lè rí bí a ṣe lè fi hàn àti dá àwọn irú iṣẹ́ (injective, surjective, bijective) mọ̀ láti inú onírúurú ìtumọ̀ iṣẹ́. Lílóye àwọn iṣẹ́ wọ̀nyí ṣe pàtàkì nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ apá ti ìṣirò àti àwọn ìlò rẹ̀ ní ìgbésí ayé gidi.
