Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò: Ìtumọ̀ Àpapọ̀ Àìlópin
Ìṣọ̀kan àìlópin jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, tí a lò láti rí ìdènà ìyọrísí iṣẹ́ kan. A tún mọ̀ ọ́n sí ìdènà àìlópin. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìdènà àìlópin, pẹ̀lú àwọn àlàyé, láti lóye èrò yìí dáadáa.
Lílóye Àwọn Ohun Tí A Kò Lè Padà
Àkójọpọ̀ àìlópin ni ìlànà wíwá iṣẹ́ ìpilẹ̀ṣẹ̀ \( F(x) \) láti inú àtúnṣe \( f(x) \), èyí tí a fi hàn nípasẹ̀:
\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
níbi tí \(C \) jẹ́ ìdúróṣinṣin pàtàkì. Ìdúróṣinṣin yìí ń dìde nítorí pé ìyọrísí ìdúróṣinṣin kan jẹ́ òdo, nítorí náà nínú ìlànà ìdènà ìyàtọ̀, a gbọ́dọ̀ gbé ìṣeéṣe irú ìdúróṣinṣin bẹ́ẹ̀ yẹ̀ wò.
Fọ́múlá Ìpìlẹ̀ fún Àwọn Integrals Àìlópin
Àwọn fọ́ọ̀mù ìpìlẹ̀ kan tí a sábà máa ń lò nínú àwọn ìṣọ̀kan tí kò ní ìpele pàtó ni:
1. \[ \int k \, dx = kx + C \]
níbi tí \( k \) jẹ́ àìdúróṣinṣin.
2. \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
fún \( n \neq -1 \).
3. \[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
4. \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]
níbi tí \(a \) jẹ́ nọ́mbà gidi rere àti \(a \neq 1 \).
5. \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
6. \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
7. \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìṣòro Àpapọ̀ Tí Kò Lópin àti Ìjíròrò Wọn
Àpẹẹrẹ 1
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( f(x) = 3x^2 \).
Ìjíròrò:
Láti yanjú ìṣọ̀kan yìí, a lo fọ́múlá ìṣọ̀kan pàtàkì fún àwọn iṣẹ́ fọ́ọ̀mù náà \( x^n \):
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Nínú ọ̀ràn yìí, a ní \( f(x) = 3x^2 \), níbi tí \( k = 3 \) àti \( n = 2 \). Lẹ́yìn náà:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^{3}}{3} \ọtun) + C = x^3 + C \]
Nítorí náà, \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).
Àpẹẹrẹ 2
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Ìjíròrò:
Àpapọ̀ \( \frac{1}{x} \) tí a gbé kalẹ̀ lórí àgbékalẹ̀ ìpìlẹ̀ ni:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Nítorí náà, \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \).
Àpẹẹrẹ 3
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( f(x) = e^x \).
Ìjíròrò:
Àpapọ̀ \(e^x \) tí a gbé kalẹ̀ lórí fọ́múlá ìpìlẹ̀ ni:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Nítorí náà, \( \int e^x \, dx = e^x + C \).
Àpẹẹrẹ 4
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( \sin x \).
Ìjíròrò:
Àpapọ̀ \( \sin x \) tí a gbé kalẹ̀ lórí fọ́múlá ìpìlẹ̀ ni:
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Nítorí náà, \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \).
Àpẹẹrẹ 5
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( \cos x \).
Ìjíròrò:
Àpapọ̀ \( \cos x \) tí a gbé kalẹ̀ lórí fọ́múlá ìpìlẹ̀ ni:
\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Nítorí náà, \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \).
Àpẹẹrẹ 6
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( 5x^{-3} \).
Ìjíròrò:
Láti yanjú ìṣọ̀kan yìí, a lo fọ́múlá ìṣọ̀kan pàtàkì fún àwọn iṣẹ́ fọ́ọ̀mù náà \( x^n \):
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Nínú ọ̀ràn yìí, a ní \( f(x) = 5x^{-3} \), níbi tí \( k = 5 \) àti \( n = -3 \). Lẹ́yìn náà:
\[ \int 5x^{-3} \, dx = 5 \int x^{-3} \, dx = 5 \left( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right) + C = 5 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \]
Nítorí náà, \( \int 5x^{-3} \, dx = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \).
Àpẹẹrẹ 7
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( 4e^{2x} \).
Ìjíròrò:
Láti yanjú ìṣọ̀kan yìí, a nílò láti lo ohun tó wà nínú rẹ̀ \( u \). Ẹ jẹ́ kí a ṣètò \( u = 2x \) kí \( du = 2dx \), tàbí \( dx = \frac{du}{2} \).
\[ \int 4e^{2x} \, dx = 4 \int e^{u} \, \frac{du}{2} = 2 \int e^{u} \, du \]
Nísinsìnyí, ìṣọ̀kan \(e^u \) ni \(e^u \):
\[ 2 \int e^u \, du = 2e^u + C \]
Pada si awọn oniyipada atilẹba:
\[ 2e^u + C = 2e^{2x} + C \]
Nítorí náà, \( \int 4e^{2x} \, dx = 2e^{2x} + C \).
Lílo Àwọn Integrals Aláìlópin
Àwọn ìṣọ̀kan tí kò ní ìpele pàtó ní àwọn ìlò tó gbòòrò nínú ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì àti ìmọ̀ ẹ̀rọ. Fún àpẹẹrẹ, nínú fisiksi, àwọn ìṣọ̀kan tí kò ní ìpele pàtó ni a ń lò láti wá ìjìnnà tí ohun kan rìn nígbà tí a bá mọ iyàrá rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí iṣẹ́ àkókò. Nínú ìmọ̀ ọrọ̀ ajé, àwọn ìṣọ̀kan tí kò ní ìpele pàtó ni a lè lò láti wá iye owó tàbí èrè gbogbo nígbà tí a bá mọ ìwọ̀n ìyípadà iye owó tàbí èrè fún ẹyọ kan.
Ipari
Ìṣọ̀kan àìlópin jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, tí a lò láti rí àwọn ohun tí ó ń dènà àwọn iṣẹ́. Lílóye onírúurú àwọn fọ́múlá ìpìlẹ̀ ìṣọ̀kan ṣe pàtàkì ní yíyanjú àwọn ìṣòro tí ó ní àwọn ohun tí kò lópin nínú. Pẹ̀lú ìdánrawò tó pọ̀ tó láti lo àwọn àpẹẹrẹ bí èyí tí a ti jíròrò lókè, ẹnìkan lè mọ ọ̀nà ìṣọ̀kan àwọn ohun tí kò lópin. Èrò ìṣọ̀kan àìlópin kìí ṣe pé ó ní ìmọ̀ nípa ìmọ̀ nìkan ṣùgbọ́n ó tún ní àǹfààní tó wúlò nínú onírúurú ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì.
