דערצו פון וועקטאָרס

אַרטיקל וועגן דעם צולייגן פון וועקטאָרן

1. קוואַנטיטעטן פון וועקטאָר און סקאַלאַר

אין צוגאב צו די פונדאמענטאלע און דעריוואַטע קוואַנטיטעטן, קען מען נאך אלץ צעטיילט פיזישע קוואַנטיטעטן אין צוויי אנדערע טיפן, נעמליך סקאַלאַרע קוואַנטיטעטן און וועקטאָר קוואַנטיטעטן. קוואַנטיטעטן ווי מאַסע, דיסטאַנץ, צייט און באַנד, זענען סקאַלאַרע קוואַנטיטעטן, קוואַנטיטעטן וואָס האָבן נאָר מאַגניטוד אָבער האָבן נישט קיין ריכטונג. בשעת מאַגניטודן ווי דיספּלייסמאַנט, גיכקייט, אַקסעלעראַציע און קראַפט זענען וועקטאָר קוואַנטיטעטן, קוואַנטיטעטן וואָס האָבן מאַגניטוד און אויך האָבן ריכטונג.

א. דער אונטערשייד צווישן s קאַלאַר און וועקטאָר קוואַנטיטעט

אויב איר זאָגט אַז די מאַסע פֿון אַ באַל איז 400 גראַם, איז דאָס גענוג כּדי איר זאָלט וויסן די מאַסע פֿונעם באַל. איר דאַרפֿט נישט קיין ריכטונג כּדי צו געפֿינען די מאַסע פֿונעם באַל. אַזוי אויך מיט צייט, טעמפּעראַטור, וואָלומען, געדיכטקייט, אאַז"וו. עס זענען פֿאַראַן עטלעכע פֿיזישע קוואַנטיטעטן וואָס קענען נישט אויסגעדריקט ווערן נאָר אין מאַגניטוד. אויב איר זאָגט אַז אַ קינד באַוועגט זיך ביז 100 מעטער, איז דאָס נישט גענוג. איר קענט פֿרעגן, וווּ האָט ער זיך באַוועגט? איז עס צפון, דרום, מזרח, צי מערב? אַזוי אויך, אויב איר זאָגט אַז איר שטופּט דעם טיש מיט אַ קראַפֿט פֿון 200 נ.

וואו פארט מען? נו, אזעלכע קוואַנטיטעטן ווערן גערופן וועקטאָר קוואַנטיטעטן, וואָס דאַרפן אַן דערקלערונג פון דער גרייס און ריכטונג. ביישפילן פון וועקטאָר קוואַנטיטעטן זענען דיספּלייסמאַנט, אַקסעלעראַציע, אימפּולס, מאָמענטום , אאז"וו. מען קען דאָס קלאָרער פֿאַרשטיין ווען מען שטודירט טעמעס וואָס זענען פֿאַרבונדן מיט יענע קוואַנטיטעטן.

ב. צייכנט אַ וועקטאָר

א וועקטאָר ווערט אנגעצייכנט מיט א פײַל. דער פײַל ווערט שטענדיק געצייכנט אַזוי אַז ער ווײַזט אין דער ריכטונג פֿונעם וועקטאָר. די לענג פֿונעם פײַל ווערט באַשריבן ווי די מאַגניטוד פֿונעם וועקטאָר. למשל, אין דער פֿיגור פֿון אַ וועקטאָר פֿון קראַפֿט (F) מיט אַ מאַגניטוד פֿון 2 N וועמענס ריכטונג איז צו צפון־מזרח אָדער 45 ^גראַד אַרום דער x־אַקס.

ג. כּללים פֿאַר שרייבן קוואַנטיטעטן פון וועקטאָרן

ביים שרייבן א וועקטאָר, אויב איר ניצט האַנטשריפט, ווערט דער סימבאָל פון אַ וועקטאָר בכלל געשריבן אין קורסיוו מיט גרויסע אותיות, און העכער אים דאַרף מען צולייגן אַן פײַל. פֿאַר געדרוקטע ביכער, ווערן וועקטאָר סימבאָלן געשריבן אין גרויסע אותיות אין פעטן דרוק, למשל, F. פֿאַר דער מאַגניטוד פון דעם וועקטאָר, אויב מיר ניצן האַנטשריפט, דאַן ווערט די מאַגניטוד פון אַ וועקטאָר געשריבן, למשל, |F|. פֿאַר געדרוקטע ביכער, ווערט די מאַגניטוד פון אַ וועקטאָר געשריבן אין קורסיוו, למשל , F.

2. צולייגן וועקטאָרן—גראַפֿישע מעטאָדן

עס זענען דא עטלעכע וועגן צו לייגן וועקטארן גראַפיש, אַרייַנגערעכנט די עק-צו-שפּיץ מעטאָד און די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָד.

א. עק-צו-שפּיץ מעטאָד פון צולייגן וועקטאָרן

וועקטאָרן A און B זענען באַקאַנט. וועקטאָר A = 3 ס״מ פּאַסט צוזאַמען מיט דער x-אַקס (צו מזרח). וועקטאָר B = 2 ס״מ שאַפֿט אַ ווינקל פֿון 30 ^° צו דער x-אַקס (צו צפון־מזרח). לייגט צו A און B גראַפֿיש מיטן "עק־צו־שפּיץ" מעטאָד. a) R = A + B b) R = A – B

די גרייס פון דעם רעזולטאנטן וועקטאָר (R) ווערט געמאָסטן מיט אַ ליניאַל. די ריכטונג פון דעם רעזולטאנטן וועקטאָר ווערט געמאָסטן מיט אַ פּראָטראַקטאָר.

באַקאַנטע וועקטאָרן A, B, און C. וועקטאָר A = 3 ס״מ פּאַסט צוזאַמען מיט דער x-אַקס (צו מזרח). וועקטאָר B = 2 ס״מ שאַפֿט אַ ווינקל פֿון 30 ^° צו דער x-אַקס (צו צפון-מזרח). וועקטאָר C = 1 ס״מ שאַפֿט אַ ווינקל פֿון 60 ^° צו דער x-אַקס (צו צפון-מזרח). לייגט צו A, B, און C גראַפֿיש ניצנדיק די "עק-צו-שפּיץ" מעטאָדע.

א) ר = א + ב + ג

ב) ר = א – ב – ג

דער רעזולטירנדיקער וועקטאָר (R) ווערט געמאָסטן מיט אַ ליניאַל. די ריכטונג פון דעם רעזולטירנדיקן וועקטאָר ווערט געמאָסטן מיט אַ פּראָטראַקטאָר.

ב. פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָד

באַקאַנטע וועקטאָרן A, B, און C. וועקטאָר A = 3 ס״מ פּאַסט צוזאַמען מיט דער x-אַקס (צו מזרח). וועקטאָר B = 2 ס״מ שאַפֿט אַ ווינקל פֿון 30 ^° צו דער x-אַקס (צו צפון-מזרח). וועקטאָר C = 1 ס״מ שאַפֿט אַ ווינקל פֿון 60 ^° צו דער x-אַקס (צו צפון-מזרח). לייגט צו A, B, און C גראַפֿיש מיט אַ פּאַראַלעלאָגראַם.

א) ר = א + ב

ב) ר = א – ב

ג) ר = א + ב + ג

ד) ר = א – ב – ג

דער רעזולטירנדיקער וועקטאָר (R) ווערט געמאָסטן מיט אַ ליניאַל. די ריכטונג פון דעם רעזולטירנדיקן וועקטאָר ווערט געמאָסטן מיט אַ פּראָטראַקטאָר.

3. צולייגן וועקטאָרן – אאנאליטיש מעטאָד

באַשטימען די מאַגניטוד און ריכטונג פון דעם רעזולטאַט וועקטאָר מיט דער גראַפֿישער מעטאָדע איז איין צוגאַנג. די אַקיעראַסי פון די רעזולטאַטן דעפּענדס אויף דיין אַקיעראַסי און פּינקטלעכקייט אין צייכענען און לייענען די וואָג. די מאַגניטוד און ריכטונג פון דעם רעזולטאַט וועקטאָר ווערן מער פּינקטלעך באַקומען דורך מאַטעמאַטישע חשבונות.

א. אויסרעכענען די סומע פון ​​2 וועקטאָרן ניצנדיק די קאָסינוס־רעגל

די פֿאָרמולע פֿאַר באַשטימען די מאַגניטוד פֿון דעם רעזולטאַט וועקטאָר:

די פֿאָרמולע פֿאַר באַשטימען די ריכטונג פֿון דעם רעזולטאַט וועקטאָר:

C = רעזולטאנט וועקטאָר

א = וועקטאָר 1

ב = וועקטאָר 2

קאָס ∠(A, B) = ווינקל געפארמט דורך וועקטאָרן A און B

בייַשפּיל פּראָבלעם 1:

F1 = 2N פאָרמירט אַ ווינקל פון 30 אַרום די x-אַקס, F2 _{= 3N} פאָרמירט אַ ווינקל פון 60 ^אָ אַרום די x-אַקס, θ = 30 ^אָ.

בייַשפּיל פּראָבלעם 2:

F1 ₌ 2N פּאַסט צו דער x-אַקס, F2 ₌ 3N פֿאָרמירט אַ ווינקל פֿון 90 ^° אַרום דער x-אַקס, θ = 90 ^°.

ב. צולייגן וועקטאָרן לויט קאָמפּאָנענטן

באַטראַכט אַ וועקטאָר F וואָס פאָרמירט אַ געוויסן ווינקל אַרום די x-אַקס, ווי געוויזן אין דער בילד אונטן. F _x און F _y זענען קאָמפּאָנענט וועקטאָרן פון וועקטאָר F.

די מאַגניטוד פון די קאָמפּאָנענט וועקטאָר ווערט באַשטימט מיט דער פאָרמולע:

Fx = F cos _θ

פֿי = פֿ סינ _θ

איבערקוק די צוויי וועקטאָרן F₁ און פ₂ וואָס פאָרמירט אַ געוויסן ווינקל אַרום די x-אַקס, ווי געוויזן אין דער בילד אונטן. F_1x און פ_1y זענען קאָמפּאָנענטן פון וועקטאָר F₁,אזוי פ_2x און פ_2y זענען קאָמפּאָנענטן פון וועקטאָר F₂.

דער קאָמפּאָנענט וועקטאָר ווערט באַשטימט מיט דער פֿאָרמולע:

F_1x = ו₁ cosθ

F1y = _{F1 sin} θ

F2x = _F2 קאָס _θ

F1y = _{F1 sin} θ

צולייגן די קאָמפּאָנענט וועקטאָרן:

פֿ _x = פֿ _1x + פֿ _2x

פֿי = פֿ _{1י +} פֿ _2י

דער רעזולטירנדיקער וועקטאָר ווערט באַשטימט מיט דער פֿאָרמולע:

די ריכטונג פון דעם רעזולטאנטן וועקטאָר ווערט באַשטימט מיט דער פֿאָרמולע:

בייַשפּיל פּראָבלעם 1:

באַשטימט די קאָמפּאָנענטן פֿון וועקטאָר F וועמענס מאַגניטוד איז 20 N און פֿאָרמען אַ ווינקל פֿון 30 ^o אַרום דער x-אַקס.

פ _{רענטגענ} = (20 ן)(קאָס 30 ^אָ ) = 17 ן

ף _י = (20 ן)(זינד 30 ^אָ ) = 10 ן

בייַשפּיל פּראָבלעם 2:

F1 = ₂₀ N שאַפט אַ ווינקל פון 30 ^° אַרום דער x-אַקס און F2 ₌ 15 N שאַפט אַ ווינקל פון 180° אַרום דער x-אַקס. באַשטימט די מאַגניטוד און ריכטונג פון דעם רעזולטאַט וועקטאָר.

F1x = ( ₂₀ N)(קאָס 30 ^o ) = 17 N

F2x = F1 ₌ – 15 _N

F _1י = (20 ן) (זינד 30 ^אָ ) = 10 ן

F2y = ₀

צולייגן די קאָמפּאָנענט וועקטאָרן:

פֿ _​​x = פֿ _1x – פֿ _2x = 17 N – 15 N = 2 N

פֿי = ₁₀ נ

דער רעזולטירנדיקער וועקטאָר:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ⁼ 22 ^{+ 102} ₌ ⁴ + 100 = ₁₀₄

F = 10.2N

ריכטונג פון דעם רעזולטאנטן וועקטאָר:

θ = tan −15 = 78.7 ^o אַרום די x-אַקס

בייַשפּיל פּראָבלעם 3:

F₁, פ_2, און פ₃ זענען 20 נ, 30 נ און 40 נ. פ₁ פאָרמירט אַ ווינקל פון 60^o ארום די x-אַקס, F₂ פאָרמירט אַ ווינקל פון 150^o ארום די x-אַקס, און F₃ פאָרמירט אַ ווינקל פון 315^o אַרום די x-אַקס. באַשטימט די מאַגניטוד און ריכטונג פון די רעזולטאַט וועקטאָר.

F1x = ( ₂₀ N)(קאָס 60 ^o ) = 10 N

F _1י = (20 ן) (זינד 60 ^אָ ) = 17 ן

F2x = ( ₃₀ N)(קאָס 30 ^o ) = -26 N

F _2י = (30 ן) (זינד 30 ^אָ ) = 15 ן

F3x = ( ₄₀ N)(קאָס 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N) (זינד 45 ^אָ ) = -28 N

צולייגן דעם קאָמפּאָנענט וועקטאָר:

פֿ _​​x = פֿ _1x – פֿ _2x + פֿ _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

ף _י = F _{1 י} + F _{2 י} - F _{3 י} = 17 ן + 15 ן - 28 ען = 4 ן

רעזולטאַט וועקטאָר:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ⁼ 122 ^{+ 42} ₌ 144 + 16 ^{= 160}

F = 13N

ריכטונג פון דעם רעזולטאנטן וועקטאָר:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o אַרום די x-אַקס