פּונקט פּראָדוקט

וועקטאָרן זענען נישט געוויינטלעכע נומערן, אַזוי געוויינטלעכע מאַלטיפּליקאַציע קען נישט גלייך אָנגעווענדט ווערן צו זיי. מיר מוזן נוצן וועקטאָר מאַלטיפּליקאַציע. עס זענען דאָ צוויי טיפּן וועקטאָר מאַלטיפּליקאַציע: פּונקט מאַלטיפּליקאַציע און קראָס מאַלטיפּליקאַציע. פּונקט מאַלטיפּליקאַציע ווערט אויך גערופן סקאַלאַרע מאַלטיפּליקאַציע ווייל עס פּראָדוצירט אַ סקאַלאַרע קוואַנטיטעט. קראָס מאַלטיפּליקאַציע ווערט אויך גערופן וועקטאָר מאַלטיפּליקאַציע ווייל עס פּראָדוצירט אַ וועקטאָר קוואַנטיטעט. למשל, עס זענען דאָ צוויי וועקטאָרן, נעמלעך A און Bסקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע פון ​​וועקטאָרן A און B דערקלערט מיט אב קזינט די ארענע ניצט פונקט נאטאציע, ווערט די דאזיגע פארמערונג גערופן פּונקט פּראָדוקטוועקטאָר מולטיפּליקאַציע פון A און B דערקלערט מיט A x בווייל עס ניצט נאטאציע x, דעמאָלט ווערט די מאַלטיפּליקאַציע גערופן קראָס-מאַלטיפּליקאַציע.

למשל, געגעבן דעם וועקטאָר A און B ווי געוויזן אין בילד אונטן. דער פּונקט פּראָדוקט צווישן וועקטאָרן A און B געשריבן ווי AB (A טיטיק B).

צו דעפינירן דעם פּונקט פּראָדוקט פון וועקטאָרן A און B (א.ב.), דעפּיקטעד וועקטאָר A און וועקטאָרן ביי יוואָס פֿאָרמירט אַ ווינקל θ. ווייטער צייכענען מיר די פראיעקציע פונעם וועקטאָר B אין דער ריכטונג פון דעם וועקטאָר Aדי פּראָיעקציע איז אַ קאָמפּאָנענט פֿון דעם וועקטאָר B וואָס איז פּאַראַלעל צום וועקטאָר A, וואָס איז די זעלבע גרייס ווי B קאָס θ.

אזוי, דעפינירן מיר AB ווי אַ גרויסער וועקטאָר A געמערט מיט די וועקטאָר קאָמפּאָנענטן B וואָס איז פּאַראַלעל צו Aמאטעמאטיש קענען מיר עס שרייבן אזוי:

AB קאָס θ איז אַ געוויינטלעכע נומער (סקאַלאַר). דעריבער, ווערט דער פּונקט פּראָדוקט אויך גערופן דער סקאַלאַר פּראָדוקט. וואָס אויב דער פּונקט פּראָדוקט צווישן וועקטאָרן A און B איבערגעדרייט צו BA איידער מיר דעפינירן BA, ערשט צייכענען מיר די פּראָיעקציע פֿון דעם וועקטאָר A צו וועקטאָרן ב (זעט בילד אונטן).

באַזירט אויף דעם בילד, קענען מיר דעפינירן BA ווי אַ גרויסער וועקטאָר B געמערט מיט די וועקטאָר קאָמפּאָנענטן A וואָס איז פּאַראַלעל צו Bמאטעמאטיש קענען מיר עס שרייבן אזוי:

פּונקט פּראָדוקט רעזולטאַט AB = AB קאָס θ און דער רעזולטאַט פון דעם פּונקט פּראָדוקט BA = BA קאָס θ. ווייַל AB קאָס θ = BA קאָס θ, דעמאָלט גילט עס AB = BA

עטלעכע זאכן וועגן פּונקט-מולטיפליקאַציע וואָס איר דאַרפט וויסן:

1. דער פּונקט־פּראָדוקט באַפרידיקט דעם קאָמוטאַטיוון געזעץ.

AB = BA

2. דער פּונקט־פּראָדוקט באַפרידיקט דעם דיסטריביוטיוון געזעץ.

א. (ב + ג) = AB + AC

3. אויב דער וועקטאָר A און B פּערפּענדיקולאַר צו יעדן אַנדערן, דעמאָלט דער רעזולטאַט פון דעם פּונקט פּראָדוקט AB = קסנומקס

ווען דער וועקטאָר A און B פּערפּענדיקולאַר צו יעדן אַנדערן, דעמאָלט איז דער ווינקל וואָס ווערט געשאַפֿן 90^oקאָס 90^o = 0. אזוי: AB = AB קאָס מומע = AB קאָס 90^o = 0. אויף די אנדערע האַנט, BA = BA קאָס מומע = BA קאָס 90^o = קסנומקס

4. אויב דער וועקטאָר A און וועקטאָרן B איין וועג, מאַקאַ AB = AB קאָס 0^o = AB

ווען דער וועקטאָר A און B אין דער זעלבער ריכטונג, דעמאָלט איז דער ווינקל וואָס ווערט געפֿאָרעמט 0^oקאָס 0 = 1. אַזוי, AB = AB קאָס מומע = AB קאָס 0^o = AB. פאַרקערט BA = BA קאָס מומע = BA קאָס 0^o = BA

(מען זאָלט אייך נישט פֿאַרמישן מיט AB און BAגרויס AB = גרויס BAלמשל, די מאַגניטוד פון דעם וועקטאָר A = 2. מאַגניטוד פון וועקטאָר B = 3. דעמאָלט AB = 2.3 = 6; דאָס איז די זעלבע ווי BA = 3.2 = 6.

^{5. נאך א באדינגונג פאר צוויי וועקטאָרן צו זיין אין דער זעלבער ריכטונג, אויב} א = ב דעמאָלט באַקומען אַאַ = A² אָדער BB = ב²

6. אויב דער וועקטאָר A און B פארקערטע ריכטונג (ווען צוויי וועקטאָרן זענען אין פאַרקערטע ריכטונגען, דאַן איז דער ווינקל וואָס ווערט געפאָרמט 180º), דעמאָלט דער רעזולטאַט פון דער מאַלטיפּליקאַציע AB = AB קאָס 180º = AB (-1) = -AB.

קאָס 180º = -1.

פראבלעמען ביישפיל:

^{א וועקטאָר} A האט אַ מאַגניטוד פון 4 איינהייטן און איז אַ וועקטאָר B האט 3 איינהייטן. באַשטימט דאָס פּונקט־פּראָדוקט פֿון די צוויי וועקטאָרן אויב די ווינקלען וואָס ווערן געפֿאָרעמט דורך די צוויי וועקטאָרן זענען 60º, 90º און 180º.^o

דיסקוסיע

ווייַל AB = BA דעמאָלט קענען מיר אויסקלײַבן צו נוצן איינס. למשל, מיר נוצן אַב

AB = AB קאָס מומע

גרויס A = 4 איינהייטן און גרויס B = 3 איינהייטן.