בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די אַפּליקאַציע פֿון אינטעגראַלן אין פֿיזיק

בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די אַפּליקאַציע פֿון אינטעגראַלן אין פֿיזיק

די נוצן פון אינטעגראלן אין פיזיק איז א זייער וויכטיגע און ברייטע קאנצעפט. די אנווענדונג פון אינטעגראלן ערלויבט פיזיקער און אינזשענירן צו רעכענען א פארשיידנקייט פון קאמפליצירטע נאטירלעכע דערשיינונגען, צי זיי זענען פארבונדן מיט באוועגונג, ענערגיע, קראפט, אדער אנדערע אספעקטן. דער ארטיקל וועט אויספארשן עטלעכע ביישפיל פראבלעמען און דיסקוטירן די אנווענדונג פון אינטעגראלן אין פיזיק.

1. אויסרעכענען ארבעט דורך וועריאַבלע קראַפט

סאָאַל
א קראַפט וואָס ווערייִרט מיט פּאָזיציע _(x)_ ווערט געגעבן דורך _(F(x) = 3x^2_). רעכנט אויס די אַרבעט וואָס ווערט געטאָן דורך דער קראַפט ווען דער אָביעקט באַוועגט זיך פון _(x = 0)_ צו _(x = 2_) מעטער.

דיסקוסיע
די ארבעט געטאן דורך א טוישנדיקע קראפט איז דער אינטעגראל פון דער קראפט איבער דער דיסטאנץ. אויב די קראפט \( F(x) \) אלס א פונקציע פון ​​דער פאזיציע \(x \) איז געגעבן, קענען מיר אויסדריקן די ארבעט ווי:

[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]

אין דעם פאַל:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{מעטער} \]
\[ b = 2 \, \text{מעטער} \]

דעמאָלט איז די אַרבעט \(W\):
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]

מיר רעכענען דעם אינטעגראל:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 (\frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 (8/3 – 0)
= 8 \, \text{דזשול}
\]

אַזוי, די אַרבעט געטאן דורך די קראַפט איז 8 דזשולס.

2. אויסרעכענען דעם צענטער פון מאַסע פון ​​אַ האָמאָגענע שטאַנג

סאָאַל
א האָמאָגענע שטאַנג מיט לענג \(L\) געפינט זיך אויף דער x-אַקס פֿון \(x = 0 \) ביז \(x = L \). רעכנט אויס די פּאָזיציע פֿון דעם צענטער פֿון מאַסע פֿון דער שטאַנג.

דיסקוסיע
פֿאַר אַ האָמאָגענעם שטאַנג, איז די מאַסע פֿאַרטיילט גלייך איבער איר לענג. מיר קענען אָננעמען אַז די שטאַנג האָט אַ קאָנסטאַנטע לינעאַרע מאַסע _(\lambda\) (מאַסע פּער איינהייט לענג).

דער צענטער פון מאַסע (\(x_{cm}\)) ווערט געגעבן דורך:

[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]

זינט די מאַסע איז פאַרשפּרייט האָמאָגענעז, קענען מיר אויסדריקן \(dm = \lambda \, dx\), און דעם גרענעץ אינטעגראַל פֿון \(x = 0\) ביז \(x = L\):

\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x √, dx}{\int_{0}^L √, dx}
\]

אינטעגראַציע איבער \(\lambda\) איז קאָנסטאַנט און קען צוריקגעבראַכט ווערן:

\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]

אַלזאָ, די פּאָזיציע פֿון דעם צענטער פֿון מאַסע פֿון דער שטאַנג איז ביי \( \frac{L}{2} \), אָדער אין מיטן פֿון דער שטאַנג.

3. אויסרעכענען עלעקטראָסטאַטישע קראַפט באַזירט אויף קולאָמבס געזעץ

סאָאַל
צוויי לאדונגען q₁ און q₂ געפינען זיך אויף דער x-אקס ביי x = 0 און x = L, בהתאמה. רעכנט אויס די עלעקטראסטאטישע קראפט צווישן די צוויי לאדונגען.

דיסקוסיע
קולאָמבס געזעץ זאָגט אַז די קראַפט צווישן צוויי פּונקט־לאָדונגען איז גלייך פּראָפּאָרציאָנעל צום פּראָדוקט פֿון די לאָדונגען און אומגעקערט פּראָפּאָרציאָנעל צום קוואַדראַט פֿון דער דיסטאַנץ צווישן זיי:

\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]

דימאַנאַ:
– \(k_e\) איז קולאָמבס קאָנסטאַנט \((8.99 × 10^9 \, \text{N} \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) איז די דיסטאַנץ צווישן די טשאַרדזשיז

אין דעם פאַל, ליגן \(q_1\) און \(q_2\) ביי \(x = 0\) און \(x = L\), דעמאָלט די דיסטאַנץ \(r = L\).

עלעקטראָסטאַטישע קראַפט איז:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]

דאָס איז אַ געוויינטלעך געווענדטע לייזונג פֿאַר אויסרעכענען די עלעקטראָסטאַטישע קראַפט צווישן צוויי פּונקט-לאָדונגען געשטעלט אין אַ געוויסער דיסטאַנץ.

4. אויסרעכענען מאַגנעטישן פלוס

סאָאַל
א קייַלעכדיק דראָט שלייף מיט ראַדיוס r ווערט געשטעלט אין אַ גלייכמעסיקן מאַגנעטישן פעלד B, וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו דער פלאַך פון דער שלייף. רעכנט אויס דעם מאַגנעטישן שטראָם דורך דער שלייף.

דיסקוסיע
דער מאַגנעטישער פלוס (\(\Phi_B\)) דורך אַ שטח \(A\) אין אַ מאַגנעטישן פעלד \(B\) ווערט געגעבן דורך:

\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]

זינט דאָס מאַגנעטישע פעלד \(B\) איז אייניג און פּערפּענדיקולאַר צו דער פלאַך פֿון דער שלייף, ווערט דער פּשוטער אינטעגראַל:

\[ \Phi_B = B \cdot A \]

וואו די שטח \(A\) פון א קרייז מיט א ראדיוס \(r\) איז:

\[A = πr^2 \]

דעמאָלט איז דער מאַגנעטישער פלוס דורך דער שלייף:

\[ \פי_ב = ב \קדאָט \פּי ר^2 \]

אַזוי, דער מאַגנעטישער פלוס דורך דער שלייף איז ∫(B π r^2).

קעסימפּולאַן

די נוצן פון אינטעגראלן אין פיזיק איז אומפארמיידלעך ווען מיר דארפן רעכענען אינפארמאציע איבער קאמפליצירטע נאטירלעכע דערשיינונגען. פון רעכענען די ארבעט געטאן דורך א וועריאַבלע קראַפט, באַשטימען דעם צענטער פון מאַסע פון ​​אַן אָביעקט, רעכענען עלעקטראָסטאַטישע כוחות באזירט אויף קולאָמב'ס געזעץ, ביז רעכענען דעם מאַגנעטישן פלוס דורך אַ שלייף פון דראָט אין אַ מאַגנעטישן פעלד, אַלע פאַרלאָזן זיך אויף אינטעגראלן צו סאָלווע פּראָבלעמען. א גרינטלעך פארשטאנד פון ווי אינטעגראלן אַרבעטן אין פארשידענע פיזיק קאָנטעקסטן ניט בלויז סימפּליפיצירט פּראָבלעם סאָלווינג, אָבער אויך גיט טיפערע ינסייץ אין די מעכאַניק פון די וניווערס אויף די מאָלעקולאַר צו גאַלאַקטיש מדרגה.