גלייכונג פון טאַנגענט ליניע צו קרייז

גלייכונג פון טאַנגענט ליניע צו קרייז

דער קרייז איז איינער פון די מערסט פונדאַמענטאַלע געאָמעטרישע אָביעקטן און ווערט אָפט באַגעגנט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט, פֿון גרונטלעכע מאַטעמאַטיק ביז ציוויל אינזשעניריע און אַרכיטעקטור. איינער פֿון די שליסל קאָנצעפּטן פֿאַרבונדן מיט קרייזן אין אַנאַליטישער געאָמעטריע איז די גלייכונג פֿון דער טאַנגענט ליניע צום קרייז. פֿאַרשטיין די גלייכונג פֿון דער טאַנגענט ליניע צו אַ קרייז עפֿנט אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד פֿון די באַציִונגען צווישן געאָמעטרישע אָביעקטן און זייערע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיקן לעבן. דער אַרטיקל וועט דערקלערן די גלייכונג פֿון דער טאַנגענט ליניע צו אַ קרייז אין דעטאַל, אָנהייבנדיק מיטן גרונטלעכן קאָנצעפּט און אַרויספֿירן די גלייכונג, ווי אויך אָנווענדנדיק ביישפּילן.

גרונט־קאָנצעפּט פֿון טאַנגענט צו אַ קרייז

א טאנגענט צו א קרייז איז א ליניע וואס רירט דעם קרייז אין נאר איין פונקט אן אים צו שניידן. דער פונקט וואו די ליניע און דער קרייז טרעפן זיך ווערט גערופן דער טאנגענט פונקט. אנדערש ווי ליניעס וואס פשוט שניידן א קרייז אין צוויי פונקטן, האבן טאנגענטן די אייגנארטיגע אייגנשאפט אז יעדער טאנגענט צו א קרייז איז פערפענדיקולאר צום ראדיוס פונעם קרייז אין יענעם פונקט.

אַלגעמיינע גלייכונגען פון קרייזן און ליניעס

איידער מיר דיסקוטירן די גלייכונג פון דער טאנגענט ליניע, איז נויטיק ערשט צו וויסן די אלגעמיינע גלייכונג פון א קרייז און א ליניע אין קארטעזישע קאארדינאטן.

קרייז גלייכונג

א קרייז מיטן צענטער ביים פונקט \((h, k)\) און ראדיוס \(r\) האט די גלייכונג:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

ליניע גלייכונג

ליניעס אין דער קאַרטעזישער פלאַך קענען אויסגעדריקט ווערן אין עטלעכע פֿאָרמען, איינע פֿון די מערסט פֿאַרשפּרייטע פֿון וועלכע איז די שיפּוע-אינטערסעפּט פֿאָרעם:

\[ y = mx + c \]

וואו \(m\) איז דער גראַדיענט (אדער שיפּוע) פון דער ליניע און \(c\) איז דער ינטערסעפּט (שניידער) אַרום דער y-אַקס.

באַשטימען די גלייכונג פון אַ טאַנגענט ליניע צו אַ קרייז

עס זענען דא עטלעכע מעטאָדן וואָס קענען גענוצט ווערן צו באַשטימען די גלייכונג פון אַ טאַנגענט ליניע צו אַ קרייז. דאָ זענען עטלעכע פון ​​די מערסט געוויינטלעכע מעטאָדן.

מעטאָד 1: ניצן גראַדיענט און טאַנגענט פונקטן

אויב מיר ווייסן דעם טאַנגענט פּונקט \((x_1, y_1)\) אויף אַ קרייז מיטן צענטער \((h, k)\), קענען מיר נוצן די געאמעטרישע אייגנשאַפט אַז די טאַנגענט ליניע איז פּערפּענדיקולאַר צום ראַדיוס פֿונעם קרייז ביים טאַנגענט פּונקט. אויב דער גראַדיענט פֿונעם ראַדיוס וואָס גייט דורך די פּונקטן \((h, k)\) און \(x_1, y_1)\) איז:

\[ m_{ראַדיוס} = \frac{y_1 – k}{x_1 – h} \]

דעמאָלט איז דער גראַדיענט פֿון דער טאַנגענט ליניע, וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו דער ראַדיוס ליניע:

\[ m_{טאַנגענט} = -\frac{1}{m_{ראַדיוס}} = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k} \]

מיטן גראַדיענט פון דער טאַנגענט ליניע באַקאַנט, קענען מיר דעמאָלט שרייבן די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע אין סלאָופּ-אינטערסעפּט פאָרעם ניצנדיק דעם פּונקט \((x_1, y_1)\):

\[ y – y_1 = m_{טאַנגענט}(x – x_1) \]

אדער אין א סטאנדארטן פארעם:

\[ y – y_1 = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k}(x – x_1) \]

מעטאָד 2: ניצן סאַבסטיטוציע און דיסקרימינאַנט

כדי צו געפינען א טאנגענט צו א באקאנטן קרייז ניצנדיק די סובסטיטוציע און דיסקרימינאנט מעטאד, הייבן מיר אן מיטן שרייבן די גלייכונג פונעם קרייז און אריינשטעקן די אלגעמיינע גלייכונג פון דער ליניע. די אלגעמיינע גלייכונג פון א ליניע איז _(y = mx + c _). קאמבינירן דאס מיט דער גלייכונג פונעם קרייז:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

פאַרבייטן \(y \) אין דער קרייז גלייכונג מיט \(mx + c \):

\[ (x – h)^2 + (mx + c – k)^2 = r^2 \]

די גלייכונג ווערט דאן אויסגעברייטערט אין דער סטאַנדאַרט קוואַדראַטישער פֿאָרעם \(Ax^2 + Bx + C = 0\). כּדי אַ ליניע זאָל זײַן אַ טאַנגענט צום קרייז, מוז זײַן פּונקט איין לייזונג פֿאַר \(x\), אַזוי מוז דער דיסקרימינאַנט פֿון דער קוואַדראַטישער גלייכונג זײַן גלייך צו נול. דער דיסקרימינאַנט פֿון דער קוואַדראַטישער גלייכונג \(Ax^2 + Bx + C = 0\) איז:

\[ ד = ב^2 – 4AC \]

מיט \(D = 0\), קענען מיר באַשטימען די ווערטן פון \(m\) און \(c\) וואָס מאַכן די ליניע טאַנגענט צום קרייז.

אַפּליקאַציע ביישפילן

בייַשפּיל 1: באַשטימען די גלייכונג פון אַ טאַנגענט ליניע

לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ קרייז מיט דער גלייכונג \( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \) און מיר ווילן וויסן די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע וואָס גייט דורך דעם פּונקט \((-1, 5)\).

ערשטנס, קאָנטראָלירן מיר צי דער פונקט איז אויף דעם קרייז. דורך אריינשטעלן \((x, y) = (-1, 5)\) אין דער גלייכונג פון דעם קרייז:

\[ (-1 – 3)^2 + (5 + 4)^2 = (-4)^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \]

זינט 97°C 25°C, איז דער פונקט נישט אויפן קרייז. אבער, מיר קענען נאך אלץ געפינען א ליניע וואס גייט דורך דעם פונקט און איז פערפענדיקולאר צום ראדיוס ביים טאנגענציע פונקט.

ערשטנס, געפינען מיר דעם גראַדיענט פון דעם ראַדיוס וואָס גייט דורך דעם פּונקט:

\[ m_{ראַדיוס} = \frac{5 + 4}{-1 – 3} = \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} \]

אַזוי, דער גראַדיענט פון דער טאַנגענט ליניע איז:

\[ m_{טאַנגענט} = -\frac{1}{m_{ראַדיוס}} = \frac{4}{9} \]

די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע ניצנדיק דעם גראַדיענט און גייט דורך דעם פונקט \((-1,5)\) איז:

[y – 5 = \frac{4}{9}(x + 1)]

קעסימפּולאַן

די גלייכונג פון א טאנגענט צו א קרייז איז א גאר גרונטלעכע געאמעטרישע קאנצעפט, אבער עס האט ברייטע אנווענדונגען אין א ברייטע פארשיידנקייט פון פעלדער. דורך פארשטיין די אייגנשאפטן פון טאנגענטן און די מעטאדן פארן באשטימען זייערע גלייכונגען, קענען מיר אנווענדן דעם קאנצעפט צו לייזן א ברייטע פארשיידנקייט פון פראבלעמען אין מאטעמאטיק און וויסנשאפט.

פֿאַרשטיין קרייזן און טאַנגענטן עפֿנט אויך ברייטערע אײַנבליקן אין דער אַנטוויקלונג פֿון וויסנשאַפֿט, באַזונדערס אין אַנאַליטישער מאַטעמאַטיק. דורך אַ סיסטעמאַטישן צוגאַנג קענען מיר פֿאַרבינדן פֿאַרשידענע עלעמענטן אין צוויי-דימענסיאָנעלן אָרט, פֿאַרשטאַרקנדיק אונדזער פֿאַרשטאַנד פֿון געאָמעטרישע יסודות וואָס קענען דינען ווי אַ יסוד פֿאַר ווײַטערדיקע אויספֿאָרשונג אין געאָמעטריע און אָרטיקער אַנאַליז.