Dönme hareketi – sorunlar ve çözümler

Dönme hareketi – sorunlar ve çözümler

Tork

1. Uzunluğu 140 cm olan bir kirişe, F1 = 20 N, F2 = 10 N ve F3 = 40 N olmak üzere, şekilde gösterildiği gibi yön ve konumda üç kuvvet etki etmektedir _. Kirişin _kütle merkezi _etrafında dönmesine neden olan tork nedir ?

Bilinenler:

Kütle merkezi kirişin tam ortasında yer almaktadır.

Kirişin uzunluğu (l) = 140 cm = 1.4 metre

Kuvvet 1 (F ₁ ) = 20 N, kaldıraç kolu 1 (l ₁ ) = 70 cm = 0.7 metre

Kuvvet 2 (F ₂ ) = 10 N, kaldıraç kolu 2 (l ₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metre

Kuvvet 3 (F ₃ ) = 40 N, kaldıraç kolu 3 (l ₃ ) = 70 cm = 0.7 metre

Aranan: Torkun büyüklüğü

Çözüm :

Tork 1, kirişi saat yönünde döndürdüğü için tork 1'e negatif bir işaret atanmıştır.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Tork 2, kirişi saat yönünün tersine döndürür, bu nedenle tork 2'ye pozitif bir işaret atanır.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

Tork 3, kirişi saat yönünde döndürdüğü için tork 3'e pozitif bir işaret atandı.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Net tork:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Torkun büyüklüğü 39 N m'dir. Kirişin dönüş yönü saat yönündedir, bu nedenle negatif bir işaret atanmıştır.

2. D noktasındaki dönme ekseninde kirişe etki eden net tork nedir? (sin 53 ^o = 0.8)

Bilinenler:

D noktasındaki dönme ekseni

F ₁ = 10 N ve l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metre

F ₂ = 10√2 N ve l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metre

F ₃ = 20 N ve l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metre

Aranan: Net tork

Çözüm :

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Tork 1, kirişi saat yönünün tersine döndürdüğü için tork 1'e pozitif işaret atıyoruz.)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Tork 2, kirişi saat yönünde döndürdüğü için tork 2'ye negatif işaret atıyoruz.)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Tork 3, kirişi saat yönünün tersine döndürdüğü için tork 3'e pozitif işaret atıyoruz.)

Net tork:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Dönme ekseni D noktasında ise net tork nedir? (sin 53 ^o = 0.8)

Bilinenler:

D noktasındaki dönme ekseni.

_F1 ile dönme ekseni arasındaki mesafe ( _rAD ) = 40 cm = 0.4 m

_F2 ile dönme ekseni arasındaki mesafe ( _rBD ) = 20 cm = 0.2 m

_F3 ile dönme ekseni arasındaki mesafe ( _rCD ) = 10 cm = 0.1 m

F ₁ = 10 Newton

F ₂ = 10√2 Newton

F3 = 20 _Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Aranan: Net tork

Çözüm :

Kuvvetin anı 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Tork 1, kirişi saat yönünün tersine döndürdüğü için tork 1'e pozitif işaret atıyoruz.)

Kuvvetin anı 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Tork 2, kirişi saat yönünde döndürdüğü için tork 2'ye negatif işaret atıyoruz.)

Kuvvetin anı 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Tork 2, kirişi saat yönünün tersine döndürdüğü için tork 3'e pozitif işaret atıyoruz.)

Net tork:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metre

eylemsizlik momenti

4. Telin uzunluğu = 12 m, l1 ₌ 4 m. Telin kütlesini ihmal edelim. Sistemin eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

A'nın kütlesi (m _A ) = 0.2 kg

B'nin kütlesi (m _B ) = 0.6 kg

A noktası ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _A ) = 4 metre

B noktası ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _B ) = 12 – 4 = 8 metre

Aranan: Sistemin eylemsizlik momenti

Çözüm :

A'nın eylemsizlik momenti

ben _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

B'nin eylemsizlik momenti

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Sistemin eylemsizlik momenti:

ben = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg ^m2

Dönme dinamikleri

5. Kütlesi M = 5 kg ve yarıçapı R = 20 cm olan bir makaraya sarılmış bir ipe 6 N'luk bir kuvvet uygulanıyor. Makaranın açısal ivmesi nedir? Makara düzgün katı bir silindirdir.

Bilinenler:

Kuvvet (F) = 6 Newton

Kütle (M) = 5 kg

Yarıçap (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Aranan: Açısal ivme (α)

Çözüm :

Gücün anı:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 metre) = 1.2 Nm

Katı silindirin eylemsizlik momenti:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Açısal ivme:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Kütlesi 4 kg olan bir blok, kütlesi 8 kg ve yarıçapı R = 10 cm olan bir makaraya sarılmış bir ip ile asılı durmaktadır. Yerçekimi ivmesi 10 ms⁻²'dir ^. Bloğun doğrusal ivmesi nedir? Makara düzgün katı bir silindirdir.

Bilinenler:

Kasnağın kütlesi (m) = 8 kg

Kasnağın yarıçapı (r) = 10 cm = 0.1 m

Blokun kütlesi (m) = 4 kg

Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ ^s²

Ağırlık (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Aranan: Bloğun serbest düşme ivmesi

Çözüm :

Katı silindirin eylemsizlik momenti:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Gücün anı:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Açısal ivme:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Doğrusal ivme:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Bir kasnağa sarılmış bir ip yardımıyla m kütleli bir cisim asılı durmaktadır. Cismin serbest düşme ivmesi am/ ^s² ise , kasnağın eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

ağırlık = w = mg

Kaldırma kolu = R

Açısal ivme = α

Cismin serbest düşme ivmesi = a ^ms⁻²

Aranan: Kasnağın eylemsizlik momenti (I)

Çözüm :

Doğrusal ivme ile açısal ivme arasındaki bağlantı:

a = R α

α = a / R

Eylemsizlik momenti:

τ = I α

ben = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Açısal momentum

8. 0.2 gram kütleli bir parçacık, saniyede 10 m sabit hızla bir daire içinde hareket etmektedir. Dairenin yarıçapı 3 cm'dir. Parçacığın açısal momentumu nedir?

Bilinenler:

Parçacığın kütlesi (m) = 0.2 gram = 2 x ^10⁻⁴ kg

Açısal hız (ω) = 10 rad s ^-1

Yarıçap (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metre

Aranan: Parçacığın açısal momentumu

Çözüm :

Açısal momentum denklemi:

L = I ω

I = açısal momentum, I = eylemsizlik momenti, ω = açısal hız

Parçacıkların eylemsizlik momenti:

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Açısal momentum:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. Dönme hareketi nedir?
   • CevapDönme hareketi, bir cismin sabit bir eksen etrafındaki hareketini ifade eder. Bu hareket türünde cismin her noktası eksen etrafında bir daire çizer.
2. Dönme hareketinde doğrusal hız ile açısal hız arasındaki ilişki nedir?
   • Cevap: Doğrusal hız ($v$Dönen bir cisimdeki bir noktanın hızı, o noktanın uzaklığıyla doğru orantılıdır.$r$) dönme ekseninden ve açısal hızdan ($\omega$Nesnenin ) ilişkisi şu şekilde verilir: $v=r\cdot \omega$.
3. Eylemsizlik momenti nedir ve dönme hareketiyle ilişkisi nedir?
   • CevapEylemsizlik momenti, doğrusal harekette kütlenin dönme hareketindeki karşılığıdır. Bir cismin dönme durumundaki değişikliklere karşı direncini ölçer. Eylemsizlik momenti, hem cismin kütlesine hem de dönme eksenine göre dağılımına bağlıdır.
4. Newton'un birinci hareket yasası dönme hareketine nasıl uygulanır?
   • CevapDoğrusal hareket halindeki bir cisim, dış bir kuvvet etki etmedikçe hareketine devam ettiği gibi, dönme hareketi halindeki bir cisim de dış bir tork etki etmedikçe bu durumunu korur.
5. Dönme yarıçapının önemi nedir?
   • CevapDönme yarıçapı, bir cismin kütlesinin dönme ekseninden uzak dağılımının bir ölçüsünü sağlar. Esasen, cismin tüm kütlesinin, orijinal dağılımla aynı eylemsizlik momentine sahip olması için eksenden ne kadar uzakta yoğunlaşması gerektiğini tanımlar.
6. Açısal momentum nedir ve nasıl korunur?
   • CevapAçısal momentum, doğrusal momentumun dönme hareketine eşdeğeridir. Bir cismin eylemsizlik momenti ile açısal hızının çarpımıdır. Kapalı bir sistemde, dış bir tork etki etmedikçe toplam açısal momentum sabit kalır; bu da açısal momentumun korunumu ilkesini vurgular.
7. Tork, dönme hareketini nasıl etkiler?
   • CevapTork, kuvvetin dönme hareketine eşdeğeridir. Bir cismin dönme hareketinde değişikliklere neden olur. Bu ilişki, Newton'un dönme için ikinci yasasıyla verilir: $\tau =I\cdot \alpha$, Burada $\tau$ torktur, $I$ eylemsizlik momentidir ve $\alpha$ açısal ivmedir.
8. Kütle merkezi ile dönme merkezi arasındaki fark nedir?
   • CevapKütle merkezi ve dönme merkezi, doğrusal hareket hesaplamalarında cismin tüm kütlesinin yoğunlaştığı nokta olarak kabul edilirken, dönme merkezleri ise cismin döndüğü nokta (veya eksen) olarak tanımlanır.
9. Dönme hareketinde merkezcil kuvvetin rolü nedir?
   • CevapMerkezcil kuvvet, dairesel bir yörüngede hareket eden bir cisme etki eden ve dönme merkezine doğru yönelen net kuvvettir. Bir cismin kavisli yörüngesinde kalmasını ve atalet nedeniyle düz bir çizgide hareket etmesini önlemekten sorumludur.

10. Dönme kinetik enerjisi ile eylemsizlik momenti ve açısal hız arasındaki ilişki nedir?

    • CevapDönme kinetik enerjisi, bir cismin bir eksen etrafında dönmesinden kaynaklanan enerjidir. Şu formülle verilir: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Burada $I$ eylemsizlik momenti ve $\omega$ açısal hızdır.