Parçacıklar için eylemsizlik momenti – sorunlar ve çözümler

Parçacıklar için eylemsizlik momenti – sorunlar ve çözümler

1. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, bir çubukla birbirine bağlı iki top bulunmaktadır. Çubuğun kütlesi ihmal edilmiştir. P topunun kütlesi 600 gram, Q topunun kütlesi ise 400 gramdır. Sistemin AB doğrusuna göre eylemsizlik momenti nedir ?

Bilinenler:

Dönme ekseni AB'dir.

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Aranan: Sistemin eylemsizlik momenti

Çözüm :

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg m ²

2. Kütlesi 2 kg olan AB çubuğu A noktası etrafında döndürüldüğünde, çubuğun eylemsizlik momenti 8 kg m²'dir ^. Eğer çubuk O noktası etrafında döndürülürse (AO = OB), çubuğun eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

AB çubuğunun kütlesi (m) = 2 kg

Eğer cisim A noktası etrafında, dönme yarıçapı (r) = AB uzunluğu = r olacak şekilde döndürülürse, eylemsizlik momenti (I) = 8 kg m² olur^.

İstenen: Bir çubuk O noktası etrafında döndürüldüğünde, dönme yarıçapı (r) = AO uzunluğu = OB uzunluğu = 1/2 r ise, çubuğun eylemsizlik momenti nedir?

Çözüm :

Ben = Bay ²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r ² = 8 m ² / 2

r ² = 4 m ²

r = 2 metre

Eğer cisim O noktası etrafında ½ r = 1 metre olacak şekilde döndürülürse, eylemsizlik momenti ne olur?

I = mr ² = (2 kg)(1 m) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

3. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir çubukla birbirine bağlı iki top. Çubuğun kütlesini ihmal edin. Sistemin eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

A topunun kütlesi (m)_A) = 200 gram = 0.2 kg

B topunun kütlesi (m _B ) = 400 gram = 0.4 kg

A topu ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _A ) = 0

B topu ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Aranan: Sistemin eylemsizlik momenti

Çözüm :

A topunun eylemsizlik momenti:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

B topunun eylemsizlik momenti:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Sistemin eylemsizlik momenti:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. Aşağıdaki şekilde farklı kütlelere sahip dört parçacık gösterilmiştir. Sistemin yatay P doğrusuna göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.

Çözüm

Dönme ekseni yatay P çizgisidir.

Bilinenler:

A parçacığının kütlesi (m _A ) = m

B parçacığının kütlesi (m _B ) = 2m

C parçacığının kütlesi (m _C ) = 3m

Parçacıkların geçiş mesafesi D (m _D ) = 4m

A parçacığı ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _A ) = b

B parçacığı ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _B ) = b

C parçacığı ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _C ) = 2b

D parçacığı ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r _D ) = 2b

İstenen: Sistemin yatay P çizgisi etrafındaki eylemsizlik momenti

Çözüm :

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

ben = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

ben = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

ben = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

5. Bir çubukla birbirine bağlı dört parçacık. Çubuğun kütlesini ihmal edin. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, _m1 ve m2 _{parçacıklarının} dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momentini belirleyin .

Bilinen

Parçacık 1'in kütlesi (m₁) = 1/4 kg

Parçacık 2'ün kütlesi (m ₂ ) = 1/2 kg

Parçacık 3'ün kütlesi (m ₃ ) = 1/4 kg

Parçacık 4'ün kütlesi (m ₄ ) = 1/4 kg

Parçacık 1 ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₁ ) = 0

Parçacık 2 ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₂ ) = 0

3 numaralı parçacık ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₃ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

4 numaralı parçacık ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₄ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Aranan: Eylemsizlik momenti

Çözüm :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Bir parçacığın eylemsizlik momenti nedir?
   • Cevap: Kütlesi olan tek bir parçacık için $m$ uzakta $r$ bir dönme ekseninden, eylemsizlik momenti $I$ tarafından verilir I=m×r².
2. Eylemsizlik momenti neden sıklıkla kütlenin "dönme analogu" olarak adlandırılır?
   • CevapTıpkı kütlenin (Newton'un ikinci yasası gereği) bir cismin öteleme hareketindeki değişimlere karşı direncini ölçtüğü gibi, eylemsizlik momenti de bir cismin dönme hareketindeki değişimlere karşı direncini ölçer.
3. Bir parçacığın dönme ekseninden uzaklığının değiştirilmesi, eylemsizlik momentini nasıl etkiler?
   • CevapEylemsizlik momenti, dönme ekseninden uzaklığın karesiyle orantılıdır. Uzaklığı iki katına çıkarırsanız, eylemsizlik momenti dört katına çıkar.
4. Mesafenin karesi neden (r²)²Eylemsizlik momenti formülünde sadece mesafe yerine neden bu değer kullanılıyor?
   • CevapDönme hareketindeki kinetik enerjinin işleyiş biçiminden dolayı mesafenin karesi kullanılır. Dönme hareketinde, bir cismin her bir parçacığı, hem kütlesine hem de eksenden uzaklığının karesine bağlı olarak dönme kinetik enerjisine katkıda bulunur.
5. Bir parçacığın kütlesi üç katına çıkarılırken, eksene olan uzaklığı sabit tutulursa, parçacığın eylemsizlik momenti nasıl değişir?
   • CevapKütle üç katına çıkarılırsa ve mesafe sabit kalırsa, eylemsizlik momenti de üç katına çıkar çünkü eylemsizlik momenti kütleyle doğru orantılıdır.
6. Bir parçacığın eylemsizlik momenti sıfır olabilir mi? Eğer öyleyse, hangi koşullar altında?
   • CevapEvet, bir parçacık, dönme ekseni üzerinde doğrudan yer alıyorsa, eylemsizlik momenti sıfır olur. $r$ Eksenden sıfıra eşit.
7. Aynı kütle ve büyüklüğe sahip farklı cisimlerin, farklı eksenler etrafında dönerken neden farklı eylemsizlik momentlerine sahip olduklarını açıklayabilir misiniz?
   • CevapDönme ekseni etrafındaki kütle dağılımı, eylemsizlik momentini belirler. İki cismin kütlesi ve boyutu aynı olsa bile, dönme eksenine göre kütle dağılımları farklı olabilir ve bu da farklı eylemsizlik momentlerine yol açabilir.
8. Eylemsizlik momenti skaler mi yoksa vektörel bir nicelik midir?
   • CevapEylemsizlik momenti skaler bir niceliktir. Bununla birlikte, karmaşık şekillere ve birden fazla dönme eksenine sahip rijit cisimler için bir tensör ile temsil edilir.
9. Eğer her birinin kütlesi olan iki parçacık varsa $m$, mesafelerde yer almaktadırlar r_1​ hem de r₂​ Dönme ekseninden itibaren, toplam eylemsizlik momenti nedir?
   • CevapAyrı ayrı parçacıklar için eylemsizlik momenti toplanır. Dolayısıyla, birleşik eylemsizlik momenti I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Eylemsizlik momenti ile açısal momentumun korunumu arasında nasıl bir ilişki vardır?

    • Cevap: Açısal momentum $L$ eylemsizlik momentinin ürünüdür $I$ ve açısal hız $\omega$denklemle temsil edilir $L=I\times \omega$Bir sisteme dışarıdan herhangi bir tork etki etmiyorsa, açısal momentum sabit kalır. Bu, eylemsizlik momenti değişirse (örneğin bir buz patencisinin kollarını içeri çekmesi gibi), çarpımı sabit tutmak için açısal hızın da ayarlanması gerektiği anlamına gelir.