การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ – ปัญหาและวิธีแก้ไข

27. การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ – ปัญหาและวิธีแก้ไข

1. กระสุนนัดหนึ่งถูกยิงออกไปt มุม θ = 60^o ด้วยความเร็ว 20 ม. / วินาที ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง is 10 ม./วินาที²ช่วงเวลาที่ใช้เพื่อให้ถึงความสูงสูงสุดคือเท่าไร?

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วเริ่มต้นของกระสุน (v)_o) = 20 ม./วินาที

มุม (θ) = 60^oC

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 ms²^-2

เป็นที่ต้องการ : ช่วงเวลาที่จะไปถึง ความสูงสูงสุด

วิธีการแก้ปัญหา:

ความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวนอน (แกน x):

v_ox = v_o เพราะ 60^o = (20)(0.5) = 10 ม./วินาที

ความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวตั้ง (แกน y):

v_oy = vo sin 60^o = (20)(0.5√3) = 10√3 ม./วินาที

ช่วงเวลาที่ใช้ในการขึ้นไปถึงความสูงสูงสุด คำนวณโดยใช้สมการนี้:

v_ty = v_oy + gt

v_ty = ความเร็วสุดท้ายในทิศทางแนวตั้ง = ความเร็วสุดท้าย ณ จุดสูงสุด = 0 เมตร/วินาที

v_oy = ความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวนอน = 10√3 ม./วินาที

g = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง = 10 m/s²²

t = ช่วงเวลา

ช่วงเวลา:

v_ty = v_oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 วินาที

2. วัตถุถูกยิงออกไปในมุมหนึ่ง ความสูงของวัตถุเท่ากันเมื่อช่วงเวลาเท่ากับ 1 วินาทีและ 3 วินาที ช่วงเวลาที่วัตถุอยู่ในอากาศคือเท่าใด

วิธีการแก้ปัญหา:

วัตถุลอยอยู่ในอากาศเป็นเวลา 4 วินาที

3. เครื่องบินกำลังเคลื่อนที่ แนวนอน ด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที วัตถุชิ้นหนึ่งถูกปล่อยจากเครื่องบินที่ความสูง 2 กิโลเมตร ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง = 10 m/ซี.2 อะไรนะ คือช่วงเวลาก่อนที่วัตถุจะตกถึงพื้น

เป็นที่รู้จัก :

ความสูง = 2 กม. = 2000 เมตร

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²

เป็นที่ต้องการ : ช่วงเวลา (t)

วิธีการแก้ปัญหา:

h = 1/2 gt²

2000 = 1/2 (10) t²

2000 = 5 ตัน²

t² = 2000/5 = 400

t = √400 = 20 วินาที

4. ลูกฟุตบอลที่ถูกเตะจะลอยขึ้นจากพื้นทำมุม θ = 45 องศา^o วัตถุเคลื่อนที่ไปตามแนวนอนด้วยความเร็วเริ่มต้น 25 ม./วินาที จงหาค่าระยะทางของ X โดยที่ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ 10 ม./วินาที²².

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วเริ่มต้น (v_o) = 25 ม./วินาที

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²

มุม (θ) = 45^o

เป็นที่ต้องการ : X

วิธีการแก้ปัญหา:

ส่วนประกอบแนวนอนของความเร็วเริ่มต้น:

v_ox = v_o cos θ = (25 ม./วินาที)(cos 45^o) = (25 ม./วินาที)(0.5√2) = 12.5√2 ม./วินาที

องค์ประกอบแนวตั้งของความเร็วเริ่มต้น:

v_oy = v_o sin θ = (25 m/s)(sin 45^o) = (25 ม./วินาที)(0.5√2) = 12.5√2 ม./วินาที

การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์สามารถทำความเข้าใจได้โดยการวิเคราะห์ส่วนประกอบในแนวนอนและแนวตั้งของการเคลื่อนที่แยกกัน การเคลื่อนที่ในแกน x เกิดขึ้นด้วยความเร็วคงที่ และการเคลื่อนที่ในแกน y เกิดขึ้นด้วยความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคงที่

เวลาในอากาศ (ต) :

เวลาที่วัตถุอยู่ในอากาศคำนวณได้จากสมการการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง

เลือกทิศทางขึ้นเป็นค่าบวก และทิศทางลงเป็นค่าลบ

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วเริ่มต้น (v)_o) = 12.5√2 ม./วินาที (ทิศทางขึ้น, ค่าบวก)

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = -10 m/s²² (ทิศทางลง, ค่าลบ)

ความสูง (h) = 0

เป็นที่ต้องการ : ช่วงเวลา (t)

วิธีการแก้ปัญหา:

h = v_o t + 1/2 gt²

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t²

0 = 12.5√2 t – 5 t²

12.5√2 t = 5 t²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 วินาที

ระยะทางแนวนอน (X) :

คำนวณโดยใช้สมการของ การเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ ด้วยความเร็วคงที่

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็ว (v) = 12.5√2 ม./วินาที

ช่วงเวลา (t) = 2.5√2 วินาที

เป็นที่ต้องการ : ระยะทาง

วิธีการแก้ปัญหา:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 เมตร

5. วัตถุถูกยิงขึ้นไปด้านบนด้วยมุม θ = 30 องศา^o วัตถุเคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็วเริ่มต้น 20 เมตร/วินาที และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ 10 เมตร/วินาที²²กำหนดความสูงสูงสุด

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วเริ่มต้น (v)_o) = 20 ม./วินาที

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²

มุม (θ) = 30^o

อยาก : ความสูงสูงสุด

วิธีการแก้ปัญหา:

ขั้นแรก ให้หาองค์ประกอบแนวตั้งของความเร็วเริ่มต้น (v)_oy):

v_oy = v_o บาป 30^o = (20)(sin 30^o) = (20)(0.5) = 10 ม./วินาที

คำนวณความสูงสูงสุด โดยกำหนดทิศทางขึ้นเป็นค่าบวก และทิศทางลงเป็นค่าลบ

เป็นที่รู้จัก :

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = -10 m/s²² (ลง ทิศทางลบ)

ส่วนประกอบแนวตั้งของความเร็วเริ่มต้น (v)_oy) = 10 ม./วินาที (ทิศทางขึ้น, บวก)

ความเร็วที่ความสูงสูงสุด (v)_ty) = 0

เป็นที่ต้องการ : ความสูงสูงสุด (h)

วิธีการแก้ปัญหา:

v_t² = v_o² + 2 gh

0² = 10² + 2 (-10) ชม.

0 = 100 – 20 ชม.

100 = 20 ชั่วโมง

h = 100/20

h = 5 เมตร

ความสูงสูงสุดคือ 5 เมตร

6. วัตถุถูกขว้างออกไปในมุมเงยที่กำหนด ความสูงของวัตถุเท่ากันหลังจากผ่านไป 1 วินาทีและ 3 วินาที จงหาเวลาที่วัตถุอยู่ในอากาศ

ก. 3.6 วินาที

ข. 4.0 วินาที

C. 5.6 วินาที

ง. 6.4 วินาที

Solution

เวลาที่ลอยอยู่ในอากาศ = 4 วินาที

คำตอบที่ถูกต้องคือ ข.

7. เครื่องบินลำหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ในแนวนอนด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที เมื่อเครื่องบินอยู่ที่ความสูง 2 กิโลเมตร วัตถุชิ้นหนึ่งสามารถตกลงมาจากเครื่องบินได้อย่างอิสระ จงระบุประเภทของการเคลื่อนที่

ก. การเคลื่อนที่แบบตกอิสระ

ข. การเคลื่อนที่แบบลอยตัว

ค. การเคลื่อนที่ในแนวนอน

ง. การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์

วิธีการแก้ปัญหา:

วัตถุถูกปล่อยจากเครื่องบินที่กำลังเคลื่อนที่ เนื่องจากวัตถุมีความเร็วเท่ากับความเร็วของเครื่องบิน ซึ่งก็คือ 50 เมตร/วินาที การเคลื่อนที่ของวัตถุจึงไม่เหมือนกับการตกอย่างอิสระ แต่เป็นการเคลื่อนที่แบบพาราโบลา กรณีนี้จึงเหมือนกับการปล่อยวัตถุจากภายในรถที่กำลังเคลื่อนที่

คำตอบที่ถูกต้องคือ ข้อ D.

8. ลูกบอลถูกขว้างออกไปในแนวนอนด้วยความเร็ว 15 เมตร/วินาที จากหน้าผาที่มีความสูง 60 เมตร ใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตกถึงพื้น?
วิธีแก้ปัญหา: โดยใช้ \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) เราจะพบว่าเวลาคือ \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. วัตถุถูกยิงออกไปทำมุม 30° เหนือแนวราบด้วยความเร็วเริ่มต้น 20 เมตร/วินาที วัตถุจะขึ้นไปถึงความสูงสูงสุดเท่าใด
วิธีแก้ปัญหา: โดยใช้สูตร \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) ความสูงสูงสุดคือ \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. ก้อนหินถูกขว้างออกไปในแนวนอนด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จากหอคอยสูง 80 เมตร จงหาว่าก้อนหินเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางเท่าใดในแนวนอนก่อนที่จะตกถึงพื้น
วิธีแก้ปัญหา: โดยใช้เวลาที่คำนวณได้ในลักษณะเดียวกับปัญหาที่ 1 ระยะทางในแนวนอนคือ \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).

11. ลูกปืนใหญ่ถูกยิงด้วยความเร็ว 40 เมตร/วินาที ทำมุม 45° จงหาเวลาที่ลูกปืนใหญ่ลอยอยู่ในอากาศ
วิธีแก้ปัญหา: โดยใช้สูตร \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) จะได้ว่าเวลาในการบินคือ \( t \approx 5.8\ \text{s} \).

12. ลูกเบสบอลถูกขว้างทำมุม 60° ด้วยความเร็ว 12 เมตร/วินาที จงหาระยะทางในแนวนอน
วิธีแก้ปัญหา: โดยใช้สูตร \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) จะได้ระยะทางเป็น \( R \approx 14.0\ \text{m} \).

13. วัตถุถูกยิงด้วยความเร็วเริ่มต้น 50 เมตร/วินาที ทำมุม 37° เหนือแนวราบ จงหาองค์ประกอบความเร็วในแนวตั้ง
คำตอบ: ส่วนประกอบในแนวตั้งคือ \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).

14. วัตถุถูกยิงออกไปในแนวนอนด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที จากความสูง 100 เมตร จงหาความเร็วในแนวตั้งของวัตถุ ก่อนที่มันจะตกถึงพื้น
วิธีแก้ปัญหา: เมื่อใช้ \( v_y = \sqrt{2gh} \) จะได้ความเร็วในแนวตั้งคือ \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).

15. ก้อนหินถูกขว้างทำมุม 25° เหนือแนวราบด้วยความเร็วเริ่มต้น 15 เมตร/วินาที จงหาองค์ประกอบความเร็วในแนวนอนและแนวตั้ง
คำตอบ: ส่วนประกอบในแนวนอนคือ \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \) และส่วนประกอบในแนวตั้งคือ \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \)

16. ลูกฟุตบอลถูกเตะด้วยความเร็วเริ่มต้น 30 เมตร/วินาที ทำมุม 40° เหนือแนวราบ จงหาองค์ประกอบความเร็วในแนวราบของลูกฟุตบอล
คำตอบ: ส่วนประกอบในแนวนอนคือ \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).

17. ลูกกอล์ฟถูกตีด้วยความเร็วเริ่มต้น 70 เมตร/วินาที ทำมุม 20 องศา ลูกกอล์ฟจะลอยอยู่ในอากาศได้นานเท่าใด?
คำตอบ: จากสมการเวลาในการเดินทาง เวลาคือ \( t \approx 4.9\ \text{s} \).

18. วัตถุถูกยิงจากพื้นดินด้วยความเร็ว 25 เมตร/วินาที ทำมุม 53° เหนือแนวราบ จงหาองค์ประกอบความเร็วในแนวตั้งเริ่มต้นของวัตถุ
คำตอบ: ส่วนประกอบในแนวตั้งคือ \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).

19. ลูกเบสบอลถูกขว้างด้วยความเร็วเริ่มต้น 20 เมตร/วินาที ทำมุม 50 องศา ลูกเบสบอลจะขึ้นไปถึงความสูงสูงสุดเท่าใด
คำตอบ: เมื่อใช้สมการหาความสูงสูงสุด จะได้ว่าความสูงคือ \( h \approx 15.3\ \text{m} \).

20. กระสุนปืนถูกยิงออกไปในแนวนอนด้วยความเร็ว 200 เมตร/วินาที จากความสูง 10 เมตร ใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตกถึงพื้น?
คำตอบ: จากสมการเวลา เวลาคือ \( t \approx 1.4\ \text{s} \).

21. ลูกปืนใหญ่ถูกยิงด้วยความเร็ว 45 เมตร/วินาที ทำมุม 30° จงหาระยะทางที่ลูกปืนใหญ่ตกถึงพื้น
คำตอบ: จากสมการระยะทาง ระยะทางคือ \( R \approx 88.2\ \text{m} \).

22. ลูกบาสเก็ตบอลถูกขว้างทำมุม 75° ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จงหาระยะทางในแนวนอน
คำตอบ: จากสมการระยะทาง ระยะทางคือ \( R \approx 5.3\ \text{m} \).

23. วัตถุถูกยิงด้วยความเร็วเริ่มต้น 30 เมตร/วินาที ทำมุม 22° เหนือแนวราบ จงหาความเร็วในแนวตั้งก่อนที่วัตถุจะตกถึงพื้น
คำตอบ: จากสมการความเร็วในแนวตั้ง จะได้ว่าความเร็วในแนวตั้งคือ \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).

24. ก้อนหินถูกขว้างออกไปในแนวนอนด้วยความเร็ว 8 เมตร/วินาที จากหอคอยสูง 40 เมตร ก้อนหินเคลื่อนที่ไปได้ไกลเท่าใดในแนวนอน?
วิธีแก้ปัญหา: เมื่อใช้สมการระยะทางในแนวนอน ระยะทางคือ d ≈ 16 ม.

25. ลูกฟุตบอลถูกเตะด้วยความเร็วเริ่มต้น 12 เมตร/วินาที ทำมุม 30° เหนือแนวราบ จงหาองค์ประกอบความเร็วในแนวนอนและแนวตั้ง
คำตอบ: ส่วนประกอบในแนวนอนคือ \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \) และส่วนประกอบในแนวตั้งคือ \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \)

26. ลูกกอล์ฟถูกตีด้วยความเร็วเริ่มต้น 50 เมตร/วินาที ทำมุม 15 องศา ลูกกอล์ฟจะลอยอยู่ในอากาศได้นานเท่าใด?
คำตอบ: จากสมการเวลาในการเดินทาง เวลาคือ \( t \approx 2.6\ \text{s} \).

27. วัตถุถูกยิงจากพื้นดินด้วยความเร็ว 40 เมตร/วินาที ทำมุม 60° เหนือแนวราบ จงหาองค์ประกอบความเร็วในแนวราบเริ่มต้นของวัตถุ
คำตอบ: ส่วนประกอบในแนวนอนคือ \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).