Dynamik hos rotationsrörelser – problem och lösningar

1. En remskiva med tröghetsmomentet I = 2/5 MR₂ ^har en massa på 2 kg. Om kraftmomentet på remskivan är 4 Nm, vad är då remskivans linjära acceleration? Tyngdaccelerationen är g = 10 ^ms⁻².

Känd : Dynamik hos rotationsrörelser – problem och lösningar 1

Tröghetsmomentet för remskivan (I) = 2/5 ^MR²

Remskivans massa (M) = 2 kg

Kraftmoment (τ) = 4 Nm

Tyngdacceleration (g) = 10 ms ^-2

Remskivans radie (R) = 20 cm = 0.2 m

Önskad: Den linjära accelerationen (a)

lösning:

Tröghetsmomentet för remskivan (I):

I = 2/5 MR² ⁼ 2/5 (2)(0.2) ^² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg ^m²

Vinkelaccelerationen ( α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

Den linjära accelerationen (a):

a = Rα = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

Den linjära accelerationen för remskivans kant är 25 ms ^-2.

2. Remskivans acceleration är 2 ms ^-2 . Tyngdaccelerationen är g = 10 ms ^-2 . Vad är remskivans tröghetsmoment?

Känd:

Den linjära accelerationen av remskivans kant (a) = 2 ms^-2

Tyngdacceleration (g) = 10 ms ^-2

Remskivans radie (R) = 10 cm = 0.1 m

Objektets vikt (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Önskad: Tröghetsmomentet för en remskiva

lösning:

Kraftmomentet (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

Remskivans vinkelacceleration (α):

a = Rα

a = a/R = 2/0.1 = 20 rad.s ^-2

Tröghetsmomentet för remskivan (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Remskivan accelererade med 1 ms ^-2 . Om remskivans radie är 10 cm, vad är remskivans tröghetsmoment?

Känd:

Den linjära accelerationen av remskivans kant (a) = 1 ms^-2

Tyngdacceleration (g) = 10 ms ^-2

Remskivans radie (R) = 10 cm = 0.1 m

Kraft (F) = 4 N

Önskad: Tröghetsmomentet för remskivan

lösning:

Kraftmomentet (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Remskivans vinkelacceleration (α):

a = Rα

a = a/R = 1/0.1 = 10 rad.s ^-2

Tröghetsmomentet för remskivan (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

Vad är rotationsekvivalenten för massa i linjär rörelse?
- Svar: Rotationsekvivalenten för massa i linjär rörelse är tröghetsmomentet, ofta betecknat som $I$ .
Hur relaterar vridmoment till rotationsrörelse, och hur jämförs det med kraft i linjär rörelse?
- Svar: Vridmoment är rotationsekvivalenten till kraft. Medan kraft orsakar linjär acceleration i objekt, orsakar vridmoment vinkelacceleration i roterande kroppar. Vridmoment beräknas som produkten av den applicerade kraften och det vinkelräta avståndet från rotationsaxeln till kraftens appliceringspunkt.
Vad är förhållandet mellan vinkelacceleration, vridmoment och tröghetsmoment?
- Svar: Sambandet ges av Newtons andra lag för rotation: $τ = I α$ Där $τ$ är vridmomentet, $I$ är tröghetsmomentet, och $α$ är vinkelaccelerationen.
Om tröghetsmomentet för ett roterande objekt ökar medan det externa vridmomentet förblir konstant, vad händer med vinkelaccelerationen?
- Svar: Om tröghetsmomentet ökar och det externa vridmomentet förblir konstant, kommer vinkelaccelerationen att minska.
Hur är begreppen linjärt momentum och vinkelmoment analoga i linjär och roterande rörelse?
- Svar: Linjärt momentum (givet av $p = m v$ Där $m$ är massa och $v$ är hastighet) är produkten av massa och linjär hastighet, medan rörelsemängdsmoment (givet av $L = I ω$ Där $I$ är tröghetsmomentet och $ω$ är vinkelhastigheten) är produkten av tröghetsmomentet och vinkelhastigheten.
Vad menas med bevarande av rörelsemängdsmoment?
- Svar: Bevarandet av vinkelmomentet säger att i frånvaro av externa vridmoment förblir det totala vinkelmomentet i ett slutet system konstant.
Varför snurrar konståkare snabbare när de sticker in armarna under en snurr?
- Svar: När konståkare sticker in armarna minskar de sitt tröghetsmoment. På grund av bevarandet av rörelsemängdsmomentet måste vinkelhastigheten (eller rotationshastigheten) öka när tröghetsmomentet minskar för att hålla rörelsemängden konstant.
Hur jämför sig ett objekts rotationskinetiska energi med dess linjära kinetiska energi?
- Svar: Den rotationella kinetiska energin (given av 1/2 $I ω^{2}$ ) är analog med linjär kinetisk energi (given av 1/2 $m v^{2}$ Den förra är förknippad med ett objekts rotation, och den senare med dess linjära rörelse.
Kan ett objekt ha både rotations- och linjär kinetisk energi samtidigt?
- Svar: Ja, ett objekt kan ha både rotations- och linjär kinetisk energi. Till exempel har ett rullande hjul rotationskinetisk energi på grund av sin rotation och linjär kinetisk energi på grund av sin framåtrörelse.
Om radien på ett roterande hjul fördubblas samtidigt som dess vinkelhastighet hålls konstant, hur förändras dess tröghetsmoment?

Svar: Tröghetsmomentet för en solid skiva ges av 1/2 $m r^{2}$ Där $m$ är massan och $r$ är radien. Om radien fördubblas och massan förblir konstant, kommer tröghetsmomentet att öka med en faktor fyra.