Fjädrar i serie och parallellt – problem och lösningar

1. Ett föremål på 160 gram fästs i ena änden av en fjäder och fjäderns längdförändring är 4 cm. Vad är längdförändringen för tre fjädrar kopplade i serie och parallellt, som visas i bilden nedan?

Känd:

Längdförändringen på en fjäder (Δx) = 4 cm = 0.04 m Fjädrar i serie och parallellt – problem och lösningar 1

Massa (m) = 160 gram = 0.16 kg

Acceleration på grund av gravitation (g) = 10 m/s²

Vikt (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Newton

Önskad: Längdförändringen för tre fjädrar (Δx)

lösning:

Ekvationen för Hookes lag :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

De tre fjädrarna har samma konstant, k = 40 N/m.

Bestäm den ekvivalenta konstanten:

Vår 2 (k₂) och fjäder 3 (k₃) tara parallellkopplad. Ekvivalentkonstanten:

k₂₃ = k₂ +k₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Vår 1 (k₁) och fjäder 23 (k₂₃) är seriekopplade. Ekvivalentkonstanten:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Bestäm längdförändringen för tre fjädrar:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Tre fjädrar med samma konstant kopplade i serie och parallelltoch ett 2 kg-objekt fäst vid ena änden av en fjäder, som visas i figuren nedan. Fjäderkonstanten är k₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Vad är längdförändringen för de tre fjädrarna? Tyngdaccelerationen är g = 10 ms^-2.

Känd:

Fjäderkonstant k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Tyngdacceleration (g) = 10 ms^-2

Objektets massa (m) = 2 kg

Objektets vikt (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Se även Kirchhoffs lag – problem och lösningar

Önskad: Längdförändringen hos de tre fjädrarna (Δx)

lösning:

Bestäm den ekvivalenta konstanten:

Vår 1 (k₁) och fjäder 2 (k₂) är parallellkopplade. Ekvivalentkonstanten:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Vår 3 (k₃) och fjäder 12 (k₁₂) är seriekopplade. Ekvivalentkonstanten:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Bestäm längdförändringen för de tre fjädrarna:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Tre fjädrar är serie- och parallellkopplade, som visas i figuren nedan. Om fjäderkonstanten k = 50 Nm^-1 och en massa på 400 gram fäst vid ena änden av en fjäder. Vad är längdförändringen på de tre fjädrarna?

Känd:

Fjäderkonstant 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Fjäderkonstant 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Fjäderkonstant 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Objektets massa (m) = 400 gram = 0.4 kg

Tyngdacceleration (g) = 10 m/s²

Objektets vikt (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newton

Önskad: Längdförändringen (Δx)

lösning:

Bestäm den ekvivalenta konstanten:

Vår 1 (k₁) och fjäder 2 (k₂) är parallellkopplade. Ekvivalentkonstanten:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Vår 3 (k₃) och fjäder 12 (k₁₂) är seriekopplade. Ekvivalentkonstanten:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Bestäm längdförändringen för de tre fjädrarna:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Hur påverkar seriekoppling av fjädrar den totala fjäderkonstanten?
- Svar: När fjädrar kombineras i serie minskas den totala fjäderkonstanten. Det reciproka värdet av den ekvivalenta fjäderkonstanten är summan av de reciproka värdena för de individuella fjäderkonstanterna: 1/k $= 1 / k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Hur förändras den totala fjäderkonstanten när fjädrar kombineras parallellt?
- Svar: Att kombinera fjädrar parallellt resulterar i en total fjäderkonstant som är summan av de individuella fjäderkonstanterna: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Om två identiska fjädrar är seriekopplade, hur står sig den kombinerade fjäderkonstanten i jämförelse med fjäderkonstanten för en enskild fjäder?
- Svar: Den kombinerade fjäderkonstanten kommer att vara hälften av fjäderkonstanten för en av de individuella fjädrarna.

Vad händer med utvidgningen eller kompressionen av fjädrar i serie när en kraft appliceras?
- Svar: För fjädrar i en serie får samma kraft varje fjäder att förlängas eller komprimeras, men den totala förlängningen (eller kompressionen) är summan av förlängningarna (eller kompressionerna) av de enskilda fjädrarna.

Om parallella fjädrar utsätts för en kraft, hur fördelas den kraften?
- Svar: För parallellt placerade fjädrar fördelas kraften mellan fjädrarna baserat på deras fjäderkonstanter. Fjädrar med en högre fjäderkonstant kommer att bära en större del av kraften än de med en lägre fjäderkonstant.
Varför kan fjädrar i serie betraktas som en enda fjäder med längre längd?
- Svar: Fjädrar i serie har en kombinerad effekt som motsvarar att sträcka ut en enda längre fjäder. Förlängningarna eller kompressionerna av de enskilda fjädrarna läggs ihop, precis som de skulle göra i en längre enskild fjäder.

Hur jämför sig den potentiella energin som lagras i fjädrar i serie med den i fjädrar som är parallellt kopplade för samma applicerade kraft?
- Svar: Fjädrar i serie lagrar mer potentiell energi än fjädrar i parallellkoppling för samma applicerade kraft eftersom de utsätts för en större kombinerad utvidgning eller kompression.
Om en av fjädrarna i en parallell konfiguration går sönder eller blir ineffektiv, vad händer med systemets övergripande beteende?
- Svar: Om en fjäder i en parallell konfiguration går sönder, kommer de återstående fjädrarna fortfarande att fungera. Systemets totala fjäderkonstant kommer dock att minska, och systemet kommer inte att kunna utöva lika mycket återställningskraft som tidigare.

Varför är fjädrar i serie mer känsliga för större deformationer än parallellkopplade fjädrar för samma applicerade kraft?
- Svar: För fjädrar i serie verkar samma kraft på varje fjäder, vilket får var och en att sträckas ut eller komprimeras. Den totala deformationen är summan av de individuella deformationerna. Parallellt fördelas kraften mellan fjädrarna, så var och en upplever en reducerad effektiv kraft, vilket leder till mindre individuella deformationer.
Varför kan ingenjörer i praktiska tillämpningar välja att använda fjädrar parallellt snarare än i serie?

Svar: Ingenjörer kan välja parallella fjädrar för att uppnå en högre total fjäderkonstant, vilket resulterar i styvare beteende. Denna uppställning kan också ge redundans; om en fjäder går sönder fortsätter systemet att fungera, om än med en reducerad total fjäderkonstant.