Mekhoa ea Bopaki ba Lipalo
Bopaki thutong ea lipalo ke motheo oa thuto ena. Mekhoa ea bopaki ke motheo oa ho netefatsa 'nete ea polelo ea lipalo. Ho tloha likhopolong tsa motheo ho ea liqetong, mohato ka mong o tlameha ho netefatsoa hore oa sebetsa. Ho utloisisa mekhoa e fapaneng ea bopaki ha ho matlafatse feela tsebo ea tlhahlobo empa hape ho ntlafatsa phihlelo ea ho ithuta le ts'ebeliso ea lipalo masimong a fapaneng.
Sengoloa sena se tla tšohla mekhoa e meng ea mantlha ea bopaki lipalo, ho kenyeletsoa bopaki bo tobileng, bopaki bo sa tobang (ho hanyetsana le ho hanyetsana), tlhahiso ea lipalo, le bopaki ka mohlala o itseng. Mokhoa o mong le o mong o na le lits'ebetso tse fapaneng, matla le mefokolo. A re li hlahlobeng ka botebo.
1. Bopaki bo Tobileng
Tlhaloso le Mehlala
Bopaki bo tobileng ke mokhoa oo ka oona re pakang polelo ka ho bontša hore haeba motheo (likhakanyo) e le 'nete, joale qeto le eona ke 'nete. Bopaking bo tobileng, hangata re qala ka seo re se tsebang 'me re sebelisa mehato e utloahalang ho fihlela qeto.
Contoh:
Paka hore haeba \(n\) e le nomoro e lekanang, joale \(n^2\) le eona e lekana.
Bopaki:
A re re \(n\) ke nomoro e lekanang. Ebe, ho ya ka tlhaloso ya nomoro e lekanang, ho ka ngolwa hore \(n = 2k\) bakeng sa palo e itseng e feletseng \(k\). Kahoo,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Ho hlakile hore \(n^2\) e ka hlahiswa e le palo e lekanang ka makgetlo a mabedi (ke hore \(2k^2\)). Kaha tlhoko e kgolo ya nomoro e lekanang ke hore e ka hlahiswa e le palo e lekanang ka makgetlo a mabedi, jwale \(n^2\) le yona ke palo e lekanang.
2. Bopaki bo sa tobang
Bopaki bo sa tobang bo kenyelletsa mekhoa e 'meli e meholo: bopaki ka ho hanyetsa le bopaki ka ho hanyetsa.
a. Bopaki ba ho se lumellane
Tlhaloso le Mehlala
Mokhoa ona o kenyeletsa ho paka polelo e sa amaneng le moelelo “haeba \(P\), joale \(Q\)” ka ho paka polelo e hanyetsanang le eona: “haeba ho se joalo \(Q\), joale ha ho joalo \(P\)”.
Contoh:
Paka hore haeba \(n^2\) e makatsa, joale \(n\) le eona e makatsa.
Bopaki:
Polelo e hanyetsanang le ena ke ena: Haeba \(n\) e se ntho e sa tlwaelehang (kapa e sa tlwaelehang), jwale \(n^2\) ha se ntho e sa tlwaelehang (kapa e sa tlwaelehang).
A re re \(n\) e lekana, ebe \(n = 2k\) bakeng sa palo yohle \(k\). Kahoo,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Sena se bolela hore \(n^2\) ke palo e lekanang. Kahoo, ho na le bopaki ba hore contrapositive, 'me polelo ea pele le eona e tiisitsoe hore ke 'nete.
b. Bopaki ka ho hanyetsana
Tlhaloso le Mehlala
Bopaki ba ho hanyetsana bo kenyelletsa ho nahana hore polelo e tla pakoa ke leshano le ho bontša hore khopolo-taba ena e lebisa khanyetsanong e utloahalang.
Contoh:
Paka hore \(\sqrt{2}\) ke nomoro e sa utloahaleng.
Bopaki:
A re re, ho ena le hoo, \(\sqrt{2}\) ke nomoro e utloahalang. Ebe, \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), moo \(a\) le \(b\) e leng linomoro tse ka sehloohong (ho tlosa ke 1), le \(b \ne 0\). Kahoo, re ka ngola:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
Ho tsoa ho equation ena, re bona hore \(a^2\) ke nomoro e lekanang, e bolelang hore \(a\) le yona e tlameha ho lekana. A re re \(a = 2k\), re na le:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
Kaha \(b^2\) ke nomoro e lekanang, joale \(b\) e tlameha ebe le yona ke nomoro e lekanang. Sena se bolela hore \(a\) le \(b\) ka bobedi ke dinomoro tse lekanang, ho hanyetsana le kgopolo ya pele ya hore \(\frac{a}{b}\) e ka sebopeho sa yona se bonolo ka ho fetisisa. Ka hona, \(\sqrt{2}\) e ke ke ya ba nomoro e utloahalang, mme ka hona ha e utlwahale.
3. Tlhahiso ea Lipalo
Tlhaloso le Mehlala
Ho kenya lipalo ka mokhoa oa lipalo ke mokhoa oa bopaki o sebelisoang ho paka lipolelo tse kenyeletsang linomoro tse felletseng. Ts'ebetso ena e na le mehato e 'meli: motheo oa ho kenya lipalo le mohato oa ho kenya lipalo.
Contoh:
Paka hore kakaretso ea letoto la pele la linomoro \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Bopaki:
– Motheo oa ho Kenyelletsa:
Bakeng sa \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
e nepahetseng.
– Mehato ea ho Hlahisa:
Nka hore polelo ena ke 'nete bakeng sa nomoro \(k\). Ke hore,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Re hloka ho paka hore le hona ke 'nete bakeng sa \(k + 1\). Re eketsa \((k + 1)\) mahlakore ka bobeli a equation:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Kahoo, polelo ena ke 'nete bakeng sa \(k + 1\). Kahoo, ka molao-motheo oa tlhahiso ea lipalo, polelo ena ke 'nete bakeng sa linomoro tsohle tse ntle \(n\).
4. Bopaki bo nang le Mehlala e Ikhethang
Tlhaloso le Mehlala
Mokhoa ona o kenyelletsa ho paka ka ho khetha mehlala e itseng e fihlelang maemo ohle a fanoeng polelong le ho bontša hore polelo ke 'nete. Leha ho le joalo, mokhoa ona hangata o sebelisoa ho paka hore polelo ke leshano.
Contoh:
Paka hore ho na le dipalo tse ke keng tsa hlahiswa e le kakaretso ya dikwere tse pedi tse phethahetseng.
Bopaki:
Leka ho sebelisa mohlala \(3\):
A re re \(3\) e ka hlaloswa e le kakaretso ya dikwere tse pedi tse phethahetseng, e leng \(a^2 + b^2 = 3\). Kamora ho leka metswako yohle ya dinomoro tse felletseng \(a\) le \(b\),
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (ho ke ke ha kgoneha).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (ho ke ke ha kgoneha).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (ho ke ke ha kgoneha).
4. Linomoro tse fosahetseng kapa linomoro tse fetang 2 le tsona ha li khonehe.
Sena se bontša hore \(3\) e ke ke ea hlalosoa e le kakaretso ea linomoro tse peli tse sekoere. Kahoo, ho na le linomoro tse ke keng tsa hlalosoa e le kakaretso ea linomoro tse peli tse phethahetseng tse sekoere.
Qetello
Bopaki ba lipalo bo hloka mekhoa e fapaneng le mehato e hlophisehileng ho latela mofuta oa polelo e pakiloeng. Bopaki bo tobileng, bopaki bo sa tobang (bo hanyetsanang le bo hanyetsanang), tlhahiso ea lipalo, le mehlala e ikhethang ke tse ling tsa mekhoa ea mantlha ea bopaki e sebelisoang maemong a fapaneng. Ho utloisisa mekhoa ena ho tla matlafatsa metheo ea lipalo le ho u thusa ho hlahloba ka botebo makala a fapaneng a lipalo.
Ka ho ikoetlisa le kutloisiso e tebileng, mekhoa ea bopaki ba lipalo e tla ba sesebelisoa se tla lula se loketse ho sebelisoa ho rarolla mathata a rarahaneng a lipalo.
