Melao ea Permutation le ea Motsoako
Lipalong, haholo-holo masimong a monyetla le lipalo-palo, hangata re kopana le potso ea hore na ketsahalo e ka etsahala ka litsela tse kae. Mohlala: ho na le litlhophiso tse kae tsa bolulo bakeng sa palo e itseng ea batho? Litho tsa sehlopha li ka khethoa ka litsela tse kae sehlopheng sa baithuti? Lipotso tse kang tsena li arajoa ho sebelisoa melao ea permutation le ea combination, e leng likhopolo tse peli tsa bohlokoa melaong ea ho bala. Leha ka bobeli li sebetsana le "palo ea litsela," phapang ea bohlokoa e ho hore na tatellano ea lintho e nahanoa.
1. Khopolo ea Motheo ea Melao ea Palo
Pele re teba ka diphetoho le metswako, ho na le mohopolo wa motheo oo re lokelang ho o utlwisisa: ho bala ke tshebetso ya ho bala palo ya diphetho tse ka bang teng ho tswa maemong a itseng. Ho bala ho ka etswa ka letsoho bakeng sa maemo a manyane, empa bakeng sa maemo a maholo, re hloka foromo e sebetsang hantle.
Melao-motheo e 'meli ea motheo ea palo ke:
1. Molao oa Sehlahisoa
Haeba ts'ebetso e na le mekhahlelo e 'maloa, 'me mohato ka mong o na le likhetho tse' maloa, joale palo eohle ea litsela ke sehlahisoa sa palo ea likhetho mohatong ka mong.
2. Molao oa Kakaretso
Haeba khetho e ka etsoa ka litsela tse 'maloa tse ikhethileng (tse sa kopaneng), joale palo eohle ea litsela ke kakaretso ea litsela tseo.
Liphetolelo le metsoako ke ts'ebeliso e eketsehileng ea molao-motheo ona, haholo-holo ha lintho li qala ho hlophisoa kapa ho khethoa.
2. Phetoho: Tokisetso ka ho Ela Hloko Taelo
Permutation ke mokhoa oa ho hlophisa kapa ho khetha lintho moo tatellano e leng ea bohlokoa. Sena se bolela hore tokisetso ea AB e fapane le ea BA.
a. Liphetoho tsa lintho tse fapaneng tsa n (tsohle li hlophisitsoe)
Haeba ho na le dintho tse fapaneng tse lokelang ho hlophiswa kaofela ka tatellano, palo ya ditlhophiso ke:
\[
n! = n \makgetlo (n-1) \makgetlo (n-2) \makgetlo \matheba \makgetlo a 2 \makgetlo a 1
\]
Letšoao “!” le bitsoa factorial.
Contoh:
Ho na le libuka tse 4 tse fapaneng. Li ka hlophisoa ka litsela tse kae shelofong?
\[
4! = 4 \makhetlo a 3 \makhetlo a 2 \makhetlo a 1 = 24
\]
Kahoo ho na le ditlhophiso tse 24.
b. Phetoho e sa fellang: ho kgetha r ho tloha ho n (taelo e elwa hloko)
Haeba ho tsoa linthong tse fapaneng tsa n re khetha lintho tsa r ho li hlophisa (eseng hore kaofela ha tsona), joale foromo ea permutation ke:
\[
P(n,r) = \frac{n!}{(nr)!}
\]
Contoh:
Ho baithuti ba 6, baithuti ba 3 ba tla kgethwa ho ba modulasetulo, motlatsi wa modulasetulo le mongodi. See se ka etswa ka ditsela tse kae?
Kaha modulasetulo-motlatsi-mongoli ba maemo a fapaneng, taelo eo e bohlokoa.
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} = 6 \makgetlo a 5 \makgetlo a 4 = 120
\]
Ho na le litsela tse 120.
c. Liphetoho tse nang le ntho e tšoanang (pheta-pheta/e tšoanang)
Ka nako e 'ngoe ho na le lintho tse sa ikhethang. Mohlala, lentsoeng "BOSIU" ho na le bo-M ba babeli le bo-A ba babeli (kapa bakeng sa "BOSIU": ho na le bo-M ba 2, ho na le bo-A ba 2? Ha e le hantle, "BOSIU" = BOSIU: M=2, A=2, L=1). Palo ea litlhophiso tse fapaneng e baloa ka:
\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \matheba}
\]
moo \(n\) e leng palo yohle ya dintho, mme \(n_1, n_2\) e leng palo ya dintho tse tshwanang.
Contoh:
Ho na le ditlhophiso tse kae tse fapaneng tsa ditlhaku tse ho “BOSIU”?
Palo ea litlhaku \(n=5\), M o na le 2, A o na le 2, L o na le 1.
\[
\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30
\]
Kahoo ho na le ditlhophiso tse 30 tse fapaneng.
3. Motswako: Khetho Ntle le ho Nahana ka Taelo
Motswako ke mokhoa oa ho khetha lintho moo tatellano ea lintho e sa tsotelleng. Ho khetha A le B ho tšoana le ho khetha B le A.
Foromo ea motsoako e khetha r ho tsoa linthong tse n:
\[
C(n,r) = \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(nr)!}
\]
a. Mohlala oa motsoako o bonolo
Contoh:
Ho baithuti ba 10, baithuti ba 3 ba tla kgethwa ho ba ditho tsa sehlopha sa tlholisano (ntle le maemo a itseng). Ka ditsela tse kae?
Kaha ha ho na maemo, tatellano ha e bohlokwa.
\[
C(10,3)=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10 \makgetlo a 9 \makgetlo a 8}{3 \makgetlo a 2 \makgetlo a 1}=120
\]
Ho na le litsela tse 120.
b. Kamano pakeng tsa diphetoho le metswako
Hlokomela hore liphetoho le metsoako lia amana. Ho khetha batho ba r le ho ba hlophisa, re ka:
– kgetha pele batho ba r: \(C(n,r)\)
– lokisetsa motho eo: \(r!\)
E le hore:
\[
P(n,r) = C(n,r)\makgetlo r!
\]
Sena se bontša hore phetoho e "kholoanyane" hobane e khetholla tatellano.
4. Mokhoa oa ho Fumana: Sebelisa Permutation kapa Motsoako?
Ho rarolla bothata, mohato oa bohlokoa ka ho fetisisa ke ho lemoha hore na taelo e eloa hloko.
Sebelisa diphetoho haeba:
– ho na le boemo kapa tlotla (modulasetulo, motlatsi, sebaka sa 1-2-3),
– ho na le tokisetso ea litulo,
– ho na le khoutu kapa tatellano ea tlhophiso.
Sebelisa motsoako haeba:
– kgetha ditho tsa sehlopha feela,
– tatellano ha e kgetholle diphetho,
– se bohlokwa ke hore na ke mang ya kgethwang, eseng boemo ba hae.
Mohlala o potlakileng:
– Khetha batho ba 5 ho ba 12 ho ba komiting: motswako
– Ho fumana bahlōli ba sebaka sa pele, sa bobeli le sa boraro ho tsoa ho barupeluoa ba 12: permutation
5. Mehlala ea Litšebeliso Bophelong ba Letsatsi le Letsatsi
Liphetoho le metsoako ha li hlahe feela libukeng tsa lipalo, empa hape le maemong a sebele:
1. Tšireletso ea phasewete (phasewete/PIN)
Palo ea li-PIN tse ka bang teng tsa linomoro tse 4 (0–9) tse lumelletsoeng ho pheta-pheta ke \(10^4\). Sena se amana le molao oa ho atisa le mohopolo oa li-permutation tse nang le ho pheta-pheta.
2. Ho hlophisa kemiso kapa litulo
Ho fumana maemo a litulo liketsahalong tsa semmuso ho sebelisoa li-permutation ka lebaka la maemo a fapaneng.
3. Khetho ea sehlopha kapa komiti
Ho kgetha batho ba mmalwa sehlopheng ke motswako, hobane tatellano ha e bohlokwa.
4. Lipapali tsa likarete
Hangata metsoako e sebelisoa ho bala monyetla oa letsoho le itseng ho poker kapa lipapali tse ling.
6. Liphoso tse Tloaelehileng Tse Lokelang ho Qojoa
Liphoso tse ling tse atisang ho hlaha ha ho sebetsoa mathata a permutation le a kopanyo:
– Ho nahana hore taelo ha e bohlokwa leha e le bohlokwa, mohlala, ho kgetha modulasetulo le motlatsi wa modulasetulo (e lokela ho ba permutation).
– Ho lebala ho arola dintho tse tshwanang, jwalo ka ho ngola mantswe a nang le ditlhaku tse phetaphetoang.
– Ho bala di-factorial hampe, haholoholo ha ho nolofatswa sebopeho \(\frac{n!}{(nr)!}\).
Tsela e 'ngoe ea ho thibela sena ke ho ngola tlhaloso ea potso ka lipolelo tse bonolo: "Na kea khetha kapa kea hlophisa?" le "Na boemo bo etsa phapang sephethong?"
Ho koala
Melao ea permutation le combination ke lisebelisoa tsa bohlokoa bakeng sa ho bala palo ea menyetla maemong a fapaneng. Permutations e sebelisoa ha tatellano kapa boemo bo le bohlokoa, ha metsoako e sebelisoa ha tatellano e se ea bohlokoa. Ka ho utloisisa phapang ena, ho tseba lintho tse fapaneng, le ho sebelisa mekhoa e nepahetseng, re ka rarolla mathata a mangata a ho bala le a monyetla kapele le ka nepo. Ha e le hantle, bokhoni ba ho khetha mokhoa o nepahetseng—permutation kapa combination—hangata bo bohlokoa ho feta ho tšoara mekhoa ka hlooho feela.
