Tekanyo ea Hyperbola ho Geometry
Hyperbola ke e 'ngoe ea likhutlo tsa bohlokoa ka ho fetisisa ho jiometri ea tlhahlobo, hammoho le selikalikoe, ellipse, le parabola. E hlaha khafetsa lipalo tse hloekileng le lits'ebetsong, joalo ka ho tsamaea, bolepi ba linaleli le fisiks. Ho utloisisa hyperbola ka botlalo, re hloka ho utloisisa tlhaloso ea eona ea jeometri, sebopeho se tloaelehileng sa equation ea eona, likarolo tsa eona tsa likarolo, le kamoo li-equation tsa hyperbola li ka fumanoang le ho hlalosoa kateng sefofaneng sa coordinate. Sengoloa sena se tšohla ka botlalo li-equation tsa hyperbola ho jiometri, ka ho totobatsa liforomo tsa equation tse sebelisoang hangata.
1. Tlhaloso ea Jiometri ea Hyperbola
Ho ya ka jeometri, hyperbola e hlaloswa e le sete ya dintlha tse ka hara sefofane seo sebaka sa sona ho tloha dintlheng tse pedi tse tsitsitseng se sa fetoheng. Dintlha tsena tse pedi tse tsitsitseng di bitswa foci (bongata: foci).
Haeba re na le li-foci tse peli \(F_1\) le \(F_2\), joale bakeng sa ntlha e 'ngoe le e 'ngoe \(P(x,y)\) ho hyperbola tse latelang lia sebetsa:
\[
|PF_1 – PF_2| = 2a
\]
Ntho e sa fetoheng \(2a\) ke boleng bo botle bo emelang phapang ea sebaka se sa fetoheng. Tlhaloso ena ke motheo oa hore na ke hobane'ng ha hyperbola e na le makala a mabeli a fapaneng: lekala ka leng le na le lintlha tse haufi le sepheo se le seng ho feta se seng.
2. Hyperbola tsamaisong ea Cartesian Coordinate
Ho jiometri ea tlhahlobo, li-hyperbola hangata li ithutoa ka li-equation tse sefofaneng sa li-coordinate. Sebopeho sa equation ea hyperbola se itšetlehile ka sebaka sa setsi sa hyperbola le tataiso ea axis ea eona e ka sehloohong (ebang ke e otlolohileng kapa e otlolohileng).
Bohareng ba hyperbola ke ntlha e bohareng pakeng tsa li-foci tse peli. Haeba hyperbola e bohareng ba tšimoloho \((0,0)\), equation ea eona e ka ngoloa ka mefuta e 'meli e tloaelehileng.
a. Hyperbola e nang le mothapo o tshekaletseng o rapameng
Sebopeho se tloaelehileng:
\[
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
Hyperbola ena e bulehela ka letsohong le letšehali le le letona (ka ho le letona). Sena se bolela hore makala a hyperbola a atoloha ho latela motsoako oa \(x\). Ka mokhoa ona:
– setsi sa hyperbola: \((0,0)\)
– ntlha e ka hodimo: \((\pm a, 0)\)
– tsepamisa maikutlo: \((\pm c, 0)\)
ka kamano:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
Paramethara \(a\) e amana le sebaka ho tloha bohareng ho ea ho vertex, ha \(b\) e amana le "bophara" ba hyperbola ka lehlakoreng la axis e otlolohileng ho ea ho axis e potolohang.
b. Hyperbola e nang le mothapo o otlolohileng o tshekaletseng
Sebopeho se tloaelehileng:
\[
\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1
\]
Hyperbola ena e buleha holimo le tlase (e otlolohileng). Bakeng sa foromo ena:
– bohareng: \((0,0)\)
– tlhoro: \((0, \pm a)\)
– tsepamisa maikutlo: \((0, \pm c)\)
ka kamano e tšoanang:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
Phetoho lipakeng tsa mefuta ena e 'meli ha e le hantle ke ho fapanyetsana mesebetsi ea \(x\) le \(y\), ke hore, ke mothapo ofe oo hyperbola e o bulang ho oona.
3. Likarolo tsa Bohlokoa tsa Hyperbole
Kahoo ho utloisisa equation ea hyperbola ha se taba e sa utloisiseheng feela, ho bohlokoa ho lemoha likarolo tsa eona tsa jeometri.
1. Mothapo o potileng: mola o fetang bohareng le dihlopha tse pedi tsa hyperbola. Mothapo ona ke tsela eo hyperbola e bulehang ka yona.
2. Mothapo o kopaneng: mola o fetang bohareng empa o otlolohile ho mothapo o tshekaletseng. Bolelele ba wona bo amana le boleng ba \(b\).
3. Ntlheng ya ntlha: ntlha e haufi haholo ho hyperbola le bohareng. Ntlheng ya ntlha e hodima mothapo o tshekaletseng.
4. Foci: lintlha tse peli tse tsitsitseng tse sebelisitsoeng tlhalosong ea hyperbola. Foci e lula e le mothating o tšelang.
5. Li-Asymptotes: mela e 'meli e otlolohileng eo hyperbola e e atamelang ha \(x\) kapa \(y\) e ntse e eketseha, empa ha ho mohla e kopanang ka kutloisiso ea hore li-curve ha li "fetohe" mela eo. Li-Asymptotes li bohlokoa haholo ho etseng li-hyperbolas.
Bakeng sa hyperbola e shebaneng le tšimoloho, li-asymptotes ke:
– bakeng sa \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\):
\[
y = \pm \frac{b}{a}x
\]
– bakeng sa \(\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1\):
\[
y = \pm \frac{a}{b}x
\]
Li-asymptotes li fana ka sesupo sa leralla la makala a hyperbola 'me li nolofatsa haholo ho taka setšoantšo sa kerafo.
4. Hyperbola e Bohareng Ntlheng \((h,k)\)
Hase li-hyperbola tsohle tse bohareng ba tšimoloho. Haeba setsi sa hyperbola se le ho \((h,k)\), joale equation e tloaelehileng e feta phetolelong.
a. Mokhahlelo o tshekaletseng o rapameng
\[
\frac{(xh)^2}{a^2} – \frac{(yk)^2}{b^2} = 1
\]
Sehlohlolo:
\[
(h \pm a, \, k)
\]
Sepheo:
\[
(h \pm c, \, k)
\]
b. Mokhahlelo o otlolohileng o tšekaletseng
\[
\frac{(yk)^2}{a^2} – \frac{(xh)^2}{b^2} = 1
\]
Sehlohlolo:
\[
(h, \, k \pm a)
\]
Sepheo:
\[
(h, k, pm c)
\]
ka tse tsitsitseng:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
Sebopeho sena se sebediswa hangata mathateng a tlhahlobo hobane di-hyperbola tse ngata di "tloswa" ho tloha qalong ho ya ho dumellana le moelelo wa bothata.
5. Ho fumana Tekanyo ea Hyperbola ho tsoa Tlhalosong ea Focus
E 'ngoe ea matla a geometry ea tlhahlobo ke bokhoni ba ho fumana li-equation tsa curve ho tsoa tlhalosong ea sebaka. Mohlala, haeba foci ea hyperbola e hokahaneng e le ho \((c,0)\) le \((-c,0)\), joale bakeng sa ntlha \(P(x,y)\) tse latelang li sebetsa:
\[
\left|\sqrt{(xc)^2 + y^2} – \sqrt{(x+c)^2 + y^2}\right| = 2a
\]
Ka ho etsa manipulations ea algebra (ho tlosa boleng bo felletseng le metso ka ho hlalosa ka mokhoa o otlolohileng), equation e ka nolofalloa ho:
\[
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
ka boemo ba \(c^2=a^2+b^2\). Ts'ebetso ena e bonts'a hore sebopeho se tloaelehileng ha se feela mokhoa o tšoaroang ka hlooho, empa ke phello e tobileng ea tlhaloso ea jeometri ea hyperbola.
6. Ho ba Mong le Moelelo oa Hona
Hyperbola e na le bongata ba bohlokoa bo bitsoang eccentricity, bo bontšitsoeng \(e\), e lekanyang "tekanyo ea ho kobeha" ha mothapo. Bakeng sa hyperbola:
\[
e = \frac{c}{a}
\]
Kaha \(c^2 = a^2 + b^2\), joale \(c > a\) e le hore:
\[
e > 1
\]
Sena se kgetholla hyperbola ho ellipse (e nang le \(0 < e < 1\)) le parabola (e nang le \(e = 1\)). Ha \(e\) e kholoanyane, hyperbola e atisa ho "buleha" mme makala a yona a atamela di-asymptotes ka potlako. 7. Ho taka Graph Ho latela Equation Ho taka hyperbola ho tswa ho equation e tloaelehileng, mehato e akaretsang ke: 1. Fumana setsi \((h,k)\). 2. Fumana tataiso ya lesoba (le otlolohileng kapa le otlolohileng) ho tloha letshwaong le letle ho polelo \((xh)^2\) kapa \((yk)^2\). 3. Bala \(a\) le \(b\), ebe o fumana vertex. 4. Fumana di-asymptotes o sebedisa leralla \(\pm \frac{b}{a}\) kapa \(\pm \frac{a}{b}\) mme o thale mola wa asymptote bohareng. 5. Thala makala a hyperbola a atamelang li-asymptotes 'me a fete har'a li-vertice. Mokhoa ona o fetola equation ea algebraic hore e be setšoantšo se hlakileng sa jeometri. 8. Qetello Equation ea hyperbola ho jeometri ke borokho pakeng tsa tlhaloso ea sebaka ho jeometri ea khale le boemeli ba eona ba lipalo ho jeometri ea tlhahlobo. Ho qala tlhalosong ea sepheo, re fumana foromo e tloaelehileng ea equation e nang le liparamente \(a\), \(b\), le \(c\), hammoho le kamano ea bohlokoa \(c^2 = a^2 + b^2\). Ho phaella moo, likarolo tse kang vertex, focus, le asymptote li fana ka tlhaloso ea jeometri e nolofalletsang ho taka le ho sekaseka ho eketsehileng. Ho utloisisa hyperbola ha se feela taba ea ho tšoara foromo ea equation ka hlooho, empa hape ke taba ea ho bona hore na parameter ka 'ngoe e ama sebopeho sa curve joang sefofaneng sa coordinate. Haeba u lakatsa, nka eketsa mehlala e felletseng (mohlala, ho fumana equation ea hyperbola ho tsoa ho focus le vertex, kapa ho rala hyperbola ho tsoa ho equation e akaretsang ea quadratic) ho etsa hore puisano e sebetse haholoanyane.
